📝 题目
3． $\displaystyle{\int} \arcsin x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 本题要求计算不定积分： $$ \int \arcsin x \, \mathrm{d}x $$ 我们采用分部积分法。设 $$ u = \arcsin x, \quad \mathrm{d}v = \mathrm{d}x $$ 则 $$ \mathrm{d}u = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d}x, \quad v = x $$ 由分部积分公式 $$ \int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u $$ 得到 $$ \int \arcsin x \, \mathrm{d}x = x \arcsin x - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d}x $$ 接下来计算 $$ \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d}x $$ 令 $ t = 1 - x^2 $，则 $ \mathrm{d}t = -2x \, \mathrm{d}x $，即 $ x \, \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \mathrm{d}t $，于是 $$ \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d}x = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \mathrm{d}t = -\frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} \, \mathrm{d}t $$ $$ = -\frac{1}{2} \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} + C = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1-x^2} + C $$ 代回原式： $$ \int \arcsin x \, \mathrm{d}x = x \arcsin x - \left( -\sqrt{1-x^2} \right) + C = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C $$ 因此结果为 $$ \boxed{x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C} $$
难度：★★☆☆☆