📝 题目
4． $\displaystyle{\int} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解不定积分： $$ \displaystyle{\int} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x $$
**步骤1：识别方法** 被积函数是 $x$ 与 $\mathrm{e}^{-x}$ 的乘积，适合使用分部积分法。分部积分公式为： $$ \displaystyle{\int} u \,\mathrm{d}v = uv - \displaystyle{\int} v \,\mathrm{d}u $$
**步骤2：选择 $u$ 和 $\mathrm{d}v$** 令 $$ u = x, \quad \mathrm{d}v = \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d}x $$ 则 $$ \mathrm{d}u = \mathrm{d}x, \quad v = \displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d}x = -\mathrm{e}^{-x} $$
**步骤3：代入公式** $$ \displaystyle{\int} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d}x = x \cdot (-\mathrm{e}^{-x}) - \displaystyle{\int} (-\mathrm{e}^{-x}) \mathrm{~d}x $$ 化简得： $$ = -x \mathrm{e}^{-x} + \displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d}x $$
**步骤4：计算剩余积分** $$ \displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d}x = -\mathrm{e}^{-x} $$ 因此： $$ = -x \mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{-x} + C $$
**步骤5：整理结果** $$ \displaystyle{\int} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d}x = -\mathrm{e}^{-x}(x + 1) + C $$
难度：★☆☆☆☆ （这是基础的分部积分题，步骤简单，适合初学者练习。）