📝 题目
6． $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-x} \cos x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求不定积分： $$ \int e^{-x} \cos x \, dx $$
这是一个典型的分部积分循环型积分。设： $$ I = \int e^{-x} \cos x \, dx $$
使用分部积分公式： $$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$
令： $$ u = \cos x, \quad dv = e^{-x} dx $$ 则： $$ du = -\sin x \, dx, \quad v = -e^{-x} $$
于是： $$ I = \cos x \cdot (-e^{-x}) - \int (-e^{-x})(-\sin x) \, dx $$ $$ = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x \, dx $$
现在对 $\int e^{-x} \sin x \, dx$ 再次分部积分。令： $$ u = \sin x, \quad dv = e^{-x} dx $$ 则： $$ du = \cos x \, dx, \quad v = -e^{-x} $$
于是： $$ \int e^{-x} \sin x \, dx = \sin x \cdot (-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) \cos x \, dx $$ $$ = -e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x \, dx $$
代回原式： $$ I = -e^{-x} \cos x - \left( -e^{-x} \sin x + I \right) $$ $$ I = -e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x - I $$
移项： $$ 2I = e^{-x} (\sin x - \cos x) $$
因此： $$ I = \frac{1}{2} e^{-x} (\sin x - \cos x) + C $$
最终结果为： $$ \boxed{\displaystyle \int e^{-x} \cos x \, dx = \frac{1}{2} e^{-x} (\sin x - \cos x) + C} $$
难度：★★☆☆☆