📝 题目
7． $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-2 x} \sin \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求不定积分： $$ \int e^{-2x} \sin\frac{x}{2} \, dx $$ 这是一个指数函数与三角函数的乘积积分，常用分部积分法或待定系数法。
**解法：分部积分法（两次）**
设： $$ I = \int e^{-2x} \sin\frac{x}{2} \, dx $$
第一次分部积分，令： $$ u = \sin\frac{x}{2}, \quad dv = e^{-2x} dx $$ 则： $$ du = \frac{1}{2} \cos\frac{x}{2} \, dx, \quad v = -\frac{1}{2} e^{-2x} $$ 于是： $$ I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin\frac{x}{2} - \int \left(-\frac{1}{2} e^{-2x}\right) \cdot \frac{1}{2} \cos\frac{x}{2} \, dx $$ 即： $$ I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \int e^{-2x} \cos\frac{x}{2} \, dx $$
记： $$ J = \int e^{-2x} \cos\frac{x}{2} \, dx $$ 对 $J$ 再次分部积分，令： $$ u = \cos\frac{x}{2}, \quad dv = e^{-2x} dx $$ 则： $$ du = -\frac{1}{2} \sin\frac{x}{2} \, dx, \quad v = -\frac{1}{2} e^{-2x} $$ 于是： $$ J = -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos\frac{x}{2} - \int \left(-\frac{1}{2} e^{-2x}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2} \sin\frac{x}{2}\right) dx $$ 即： $$ J = -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \int e^{-2x} \sin\frac{x}{2} \, dx $$ 注意最后一项正是 $-\frac{1}{4} I$。
因此： $$ J = -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos\frac{x}{2} - \frac{1}{4} I $$
代回 $I$ 的表达式： $$ I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos\frac{x}{2} - \frac{1}{4} I \right) $$ 即： $$ I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin\frac{x}{2} - \frac{1}{8} e^{-2x} \cos\frac{x}{2} - \frac{1}{16} I $$
移项： $$ I + \frac{1}{16} I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin\frac{x}{2} - \frac{1}{8} e^{-2x} \cos\frac{x}{2} $$ $$ \frac{17}{16} I = - e^{-2x} \left( \frac{1}{2} \sin\frac{x}{2} + \frac{1}{8} \cos\frac{x}{2} \right) $$
两边乘以 $\frac{16}{17}$： $$ I = -\frac{16}{17} e^{-2x} \left( \frac{1}{2} \sin\frac{x}{2} + \frac{1}{8} \cos\frac{x}{2} \right) + C $$
化简括号内： $$ \frac{1}{2} \sin\frac{x}{2} + \frac{1}{8} \cos\frac{x}{2} = \frac{4}{8} \sin\frac{x}{2} + \frac{1}{8} \cos\frac{x}{2} = \frac{1}{8} \left( 4\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2} \right) $$
因此： $$ I = -\frac{16}{17} e^{-2x} \cdot \frac{1}{8} \left( 4\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2} \right) + C $$ $$ I = -\frac{2}{17} e^{-2x} \left( 4\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2} \right) + C $$
最终结果为： $$ \boxed{\displaystyle -\frac{2}{17} e^{-2x} \left(4\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2}\right) + C} $$
难度评级：★★☆☆☆ （属于常规分部积分，需两次分部并解方程，但步骤清晰，计算量适中）