📝 题目
19． $\displaystyle{\int} \frac{d x}{1+\sqrt[3]{x+1}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解不定积分： $$ \int \frac{dx}{1+\sqrt[3]{x+1}}. $$
**步骤1：换元** 令 $$ t = \sqrt[3]{x+1} \quad \Rightarrow \quad t^3 = x+1, $$ 则 $$ dx = 3t^2 \, dt. $$ 代入原积分得： $$ \int \frac{3t^2}{1+t} \, dt. $$
**步骤2：多项式除法化简** 由于被积函数是假分式，做除法： $$ \frac{3t^2}{1+t} = 3\left( t - 1 + \frac{1}{1+t} \right). $$ 验证： $$ (t-1)(1+t) = t^2 - 1, \quad 加上1得 t^2, $$ 所以正确。
**步骤3：积分** 于是 $$ \int \frac{3t^2}{1+t} dt = 3 \int \left( t - 1 + \frac{1}{1+t} \right) dt = 3\left( \frac{t^2}{2} - t + \ln|1+t| \right) + C. $$
**步骤4：回代** 由 $ t = \sqrt[3]{x+1} $，得 $$ \int \frac{dx}{1+\sqrt[3]{x+1}} = \frac{3}{2} (x+1)^{2/3} - 3\sqrt[3]{x+1} + 3\ln\left|1+\sqrt[3]{x+1}\right| + C. $$
因此最终结果为： $$ \boxed{\frac{3}{2} (x+1)^{2/3} - 3\sqrt[3]{x+1} + 3\ln\left|1+\sqrt[3]{x+1}\right| + C}. $$
难度：★☆☆☆☆（简单换元积分，计算量小）