📝 题目
22． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**题目**：求不定积分 $$ \displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}. $$
**解**： 被积函数中含有根式 $\sqrt{x}$ 和 $\sqrt[4]{x}$，它们的最小公倍数为 $4$，因此令 $$ t = \sqrt[4]{x} \quad \Rightarrow \quad x = t^4,\quad \mathrm{d}x = 4t^3\,\mathrm{d}t. $$ 代入原积分得 $$ \displaystyle{\int} \frac{4t^3}{t^2 + t}\,\mathrm{d}t = 4\displaystyle{\int} \frac{t^3}{t(t+1)}\,\mathrm{d}t = 4\displaystyle{\int} \frac{t^2}{t+1}\,\mathrm{d}t. $$
对 $\frac{t^2}{t+1}$ 进行多项式除法： $$ t^2 = (t+1)(t-1) + 1, $$ 所以 $$ \frac{t^2}{t+1} = t - 1 + \frac{1}{t+1}. $$ 于是积分化为 $$ 4\displaystyle{\int} \left(t - 1 + \frac{1}{t+1}\right)\mathrm{d}t = 4\left( \frac{t^2}{2} - t + \ln|t+1| \right) + C. $$
将 $t = \sqrt[4]{x}$ 代回，得 $$ \displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}} = 2\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} + 4\ln(\sqrt[4]{x}+1) + C. $$
**难度评级**：★★☆☆☆ （主要考察根式代换与多项式除法，计算量小，思路直接）