📝 题目
24． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{(x+1)^{2}(x-1)^{4}}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求解不定积分： $$ \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{(x+1)^{2}(x-1)^{4}}} $$
**第一步：化简被积函数**
注意到根号是三次根号，因此我们可以将分母写成指数形式： $$ \sqrt[3]{(x+1)^{2}(x-1)^{4}} = (x+1)^{\frac{2}{3}} (x-1)^{\frac{4}{3}} $$ 所以积分变为： $$ \int (x+1)^{-\frac{2}{3}} (x-1)^{-\frac{4}{3}} \, \mathrm{d}x $$
**第二步：寻找合适的变量替换**
观察到两个因子幂次不同，但分母次数之和为 $-\frac{2}{3} - \frac{4}{3} = -2$，可以考虑将表达式化为关于 $\frac{x-1}{x+1}$ 的形式。令： $$ t = \frac{x-1}{x+1} $$ 则： $$ x = \frac{1+t}{1-t}, \quad \mathrm{d}x = \frac{2}{(1-t)^2} \, \mathrm{d}t $$
**第三步：用 $t$ 表示被积函数**
首先： $$ x+1 = \frac{1+t}{1-t} + 1 = \frac{1+t + 1 - t}{1-t} = \frac{2}{1-t} $$ $$ x-1 = \frac{1+t}{1-t} - 1 = \frac{1+t - (1-t)}{1-t} = \frac{2t}{1-t} $$
于是： $$ (x+1)^{-\frac{2}{3}} = \left(\frac{2}{1-t}\right)^{-\frac{2}{3}} = 2^{-\frac{2}{3}} (1-t)^{\frac{2}{3}} $$ $$ (x-1)^{-\frac{4}{3}} = \left(\frac{2t}{1-t}\right)^{-\frac{4}{3}} = 2^{-\frac{4}{3}} t^{-\frac{4}{3}} (1-t)^{\frac{4}{3}} $$
相乘得： $$ (x+1)^{-\frac{2}{3}}(x-1)^{-\frac{4}{3}} = 2^{-2} t^{-\frac{4}{3}} (1-t)^{2} $$ 因为 $-\frac{2}{3} - \frac{4}{3} = -2$，而 $2^{-\frac{2}{3} - \frac{4}{3}} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$。
**第四步：代入积分**
积分变为： $$ \int \frac{1}{4} t^{-\frac{4}{3}} (1-t)^{2} \cdot \frac{2}{(1-t)^2} \, \mathrm{d}t $$ 注意 $(1-t)^2$ 与分母 $(1-t)^2$ 约掉，剩下： $$ \int \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot t^{-\frac{4}{3}} \, \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \int t^{-\frac{4}{3}} \, \mathrm{d}t $$
**第五步：积分计算**
$$ \frac{1}{2} \int t^{-\frac{4}{3}} \, \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} + C = -\frac{3}{2} t^{-\frac{1}{3}} + C $$
**第六步：回代变量**
由 $t = \frac{x-1}{x+1}$，得： $$ t^{-\frac{1}{3}} = \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{-\frac{1}{3}} = \left( \frac{x+1}{x-1} \right)^{\frac{1}{3}} $$ 因此： $$ \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{(x+1)^{2}(x-1)^{4}}} = -\frac{3}{2} \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}} + C $$
**最终结果：** $$ \boxed{-\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}} + C} $$
难度：★★☆☆☆