📝 题目
4． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}+1\right)}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解不定积分： $$ \displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}+1\right)}. $$
**第一步：分解为部分分式** 设 $$ \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2+1}. $$ 两边乘以分母 $x(x^2+1)$ 得： $$ 1 = A(x^2+1) + (Bx + C)x. $$ 展开： $$ 1 = A x^2 + A + B x^2 + C x = (A+B)x^2 + C x + A. $$ 比较系数： - 常数项：$A = 1$ - $x$ 项系数：$C = 0$ - $x^2$ 项系数：$A + B = 0 \Rightarrow 1 + B = 0 \Rightarrow B = -1$
因此： $$ \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}. $$
**第二步：分别积分** $$ \displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x(x^2+1)} = \displaystyle{\int} \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x - \displaystyle{\int} \frac{x}{x^2+1} \, \mathrm{d}x. $$ 第一个积分： $$ \displaystyle{\int} \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x = \ln |x| + C_1. $$ 第二个积分：令 $u = x^2+1$，则 $\mathrm{d}u = 2x \, \mathrm{d}x$，于是 $$ \displaystyle{\int} \frac{x}{x^2+1} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d}u}{u} = \frac{1}{2} \ln |u| + C_2 = \frac{1}{2} \ln (x^2+1) + C_2. $$
**第三步：合并结果** $$ \displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x(x^2+1)} = \ln |x| - \frac{1}{2} \ln (x^2+1) + C. $$ 也可写成： $$ \ln \frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}} + C. $$
难度：★☆☆☆☆