📝 题目
5． $\displaystyle{\int} \frac{3}{x^{3}+1} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求解不定积分： $$ \int \frac{3}{x^3+1} \, dx $$
**第一步：因式分解分母** 利用立方和公式： $$ x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1) $$ 因此被积函数可写为： $$ \frac{3}{x^3+1} = \frac{3}{(x+1)(x^2 - x + 1)} $$
**第二步：部分分式分解** 设： $$ \frac{3}{(x+1)(x^2 - x + 1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx + C}{x^2 - x + 1} $$ 两边乘以分母得： $$ 3 = A(x^2 - x + 1) + (Bx + C)(x+1) $$ 展开： $$ 3 = A x^2 - A x + A + B x^2 + B x + C x + C $$ 合并同类项： $$ 3 = (A + B) x^2 + (-A + B + C)x + (A + C) $$ 比较系数得方程组： $$ \begin{cases} A + B = 0 \\ -A + B + C = 0 \\ A + C = 3 \end{cases} $$ 由第一式得 $B = -A$，代入第二式： $$ -A - A + C = 0 \quad\Rightarrow\quad C = 2A $$ 代入第三式： $$ A + 2A = 3 \quad\Rightarrow\quad 3A = 3 \quad\Rightarrow\quad A = 1 $$ 于是： $$ B = -1,\quad C = 2 $$ 所以： $$ \frac{3}{x^3+1} = \frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2 - x + 1} $$
**第三步：分别积分** 原积分化为： $$ \int \frac{3}{x^3+1} \, dx = \int \frac{1}{x+1} \, dx + \int \frac{-x+2}{x^2 - x + 1} \, dx $$
第一部分： $$ \int \frac{1}{x+1} \, dx = \ln|x+1| + C_1 $$
第二部分处理： 对分母 $x^2 - x + 1$ 配方： $$ x^2 - x + 1 = \left(x - \frac12\right)^2 + \frac34 $$ 将分子 $-x+2$ 改写为： $$ -x+2 = -\left(x - \frac12\right) + \frac32 $$ 于是： $$ \int \frac{-x+2}{x^2 - x + 1} \, dx = -\int \frac{x - \frac12}{x^2 - x + 1} \, dx + \frac32 \int \frac{1}{\left(x - \frac12\right)^2 + \frac34} \, dx $$
第一个积分：令 $u = x^2 - x + 1$，则 $du = (2x - 1)dx = 2(x - \frac12)dx$，所以： $$ \int \frac{x - \frac12}{x^2 - x + 1} \, dx = \frac12 \int \frac{du}{u} = \frac12 \ln|x^2 - x + 1| $$
第二个积分：令 $t = x - \frac12$，则： $$ \int \frac{1}{t^2 + \frac34} \, dt = \frac{1}{\sqrt{3/4}} \arctan\left( \frac{t}{\sqrt{3/4}} \right) = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2t}{\sqrt{3}} \right) $$ 代回 $t = x - \frac12$： $$ \frac32 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} \right) = \sqrt{3} \arctan\left( \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} \right) $$
**第四步：合并结果** 因此： $$ \int \frac{3}{x^3+1} \, dx = \ln|x+1| - \frac12 \ln|x^2 - x + 1| + \sqrt{3} \arctan\left( \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} \right) + C $$
最终答案为： $$ \boxed{\displaystyle \ln|x+1| - \frac12 \ln(x^2 - x + 1) + \sqrt{3} \arctan\left( \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} \right) + C} $$
难度：★★☆☆☆