📝 题目
14． $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{x-1}}{x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求解不定积分： $$ \int \frac{\sqrt{x-1}}{x} \, dx $$
**步骤1：换元** 令 $ t = \sqrt{x-1} $，则 $ t \ge 0 $，并且 $$ t^2 = x - 1 \quad\Rightarrow\quad x = t^2 + 1 $$ 两边微分： $$ dx = 2t \, dt $$
**步骤2：代入积分** 原积分变为： $$ \int \frac{t}{t^2 + 1} \cdot 2t \, dt = 2 \int \frac{t^2}{t^2 + 1} \, dt $$
**步骤3：化简被积函数** 因为 $$ \frac{t^2}{t^2+1} = 1 - \frac{1}{t^2+1} $$ 所以： $$ 2 \int \left(1 - \frac{1}{t^2+1}\right) dt = 2 \left( \int 1 \, dt - \int \frac{1}{t^2+1} \, dt \right) $$
**步骤4：积分计算** $$ \int 1 \, dt = t,\quad \int \frac{1}{t^2+1} \, dt = \arctan t $$ 因此： $$ 2 \left( t - \arctan t \right) + C $$
**步骤5：回代变量** 由 $ t = \sqrt{x-1} $，得： $$ \int \frac{\sqrt{x-1}}{x} \, dx = 2\sqrt{x-1} - 2\arctan\sqrt{x-1} + C $$
最终结果为： $$ \boxed{2\sqrt{x-1} - 2\arctan\sqrt{x-1} + C} $$
难度：★☆☆☆☆ （属于基础换元积分，步骤简单直接）