📝 题目
24． $\displaystyle{\int} \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{1+x-x^{2}}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求解不定积分： $$ \int \frac{x \, dx}{\sqrt{1 + x - x^2}}. $$
**第一步：配方分母中的二次式** 对于 $1 + x - x^2$，先提取负号： $$ 1 + x - x^2 = -(x^2 - x - 1). $$ 对 $x^2 - x$ 配方： $$ x^2 - x = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}, $$ 所以 $$ x^2 - x - 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{5}{4}. $$ 于是 $$ 1 + x - x^2 = -\left[\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{5}{4}\right] = \frac{5}{4} - \left(x - \frac{1}{2}\right)^2. $$
因此积分变为： $$ \int \frac{x \, dx}{\sqrt{\frac{5}{4} - \left(x - \frac{1}{2}\right)^2}}. $$
**第二步：变量代换** 令 $$ t = x - \frac{1}{2}, \quad dx = dt, \quad x = t + \frac{1}{2}. $$ 积分化为： $$ \int \frac{t + \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{4} - t^2}} \, dt = \int \frac{t}{\sqrt{\frac{5}{4} - t^2}} \, dt + \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{\frac{5}{4} - t^2}}. $$
**第三步：分别计算两个积分**
第一个积分： $$ \int \frac{t}{\sqrt{\frac{5}{4} - t^2}} \, dt. $$ 令 $u = \frac{5}{4} - t^2$，则 $du = -2t \, dt$，即 $t\, dt = -\frac{1}{2} du$，于是 $$ \int \frac{t}{\sqrt{\frac{5}{4} - t^2}} \, dt = \int \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \, du = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{u} + C_1 = -\sqrt{\frac{5}{4} - t^2} + C_1. $$
第二个积分： $$ \int \frac{dt}{\sqrt{\frac{5}{4} - t^2}} = \arcsin\!\left( \frac{t}{\sqrt{5/4}} \right) + C_2 = \arcsin\!\left( \frac{2t}{\sqrt{5}} \right) + C_2. $$
**第四步：合并结果并回代** 所以原积分为： $$ -\sqrt{\frac{5}{4} - t^2} + \frac{1}{2} \arcsin\!\left( \frac{2t}{\sqrt{5}} \right) + C. $$ 回代 $t = x - \frac{1}{2}$： $$ -\sqrt{\frac{5}{4} - \left(x - \frac{1}{2}\right)^2} + \frac{1}{2} \arcsin\!\left( \frac{2x - 1}{\sqrt{5}} \right) + C. $$ 注意 $\frac{5}{4} - \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = 1 + x - x^2$，因此最终结果为： $$ \boxed{-\sqrt{1 + x - x^2} + \frac{1}{2} \arcsin\!\left( \frac{2x - 1}{\sqrt{5}} \right) + C}. $$
难度：★★☆☆☆