📝 题目
3． $\displaystyle{\int} \frac{d x}{\sqrt{5-4 x+x^{2}}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解不定积分： $$ \int \frac{dx}{\sqrt{5 - 4x + x^{2}}} $$
**第一步：将二次式配方** 观察分母根号内的二次式： $$ 5 - 4x + x^{2} = x^{2} - 4x + 5 $$ 配方： $$ x^{2} - 4x + 5 = (x^{2} - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^{2} + 1 $$ 因此积分变为： $$ \int \frac{dx}{\sqrt{(x - 2)^{2} + 1}} $$
**第二步：使用标准积分公式** 我们知道： $$ \int \frac{du}{\sqrt{u^{2} + a^{2}}} = \ln\left| u + \sqrt{u^{2} + a^{2}} \right| + C $$ 这里令 $u = x - 2$，$a = 1$，于是： $$ \int \frac{dx}{\sqrt{(x - 2)^{2} + 1}} = \ln\left| (x - 2) + \sqrt{(x - 2)^{2} + 1} \right| + C $$
**第三步：回代并写出最终结果** 由于根号内恒正，绝对值可以去掉，结果为： $$ \boxed{\ln\left( x - 2 + \sqrt{x^{2} - 4x + 5} \right) + C} $$
难度评级：★☆☆☆☆ （仅需配方并套用标准积分公式，计算量小，属于基础题。）