📝 题目
6． $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{2 x} \cos x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求不定积分： $$ \int e^{2x} \cos x \, dx $$
**步骤1：设分部积分** 令 $$ u = e^{2x}, \quad dv = \cos x \, dx $$ 则 $$ du = 2 e^{2x} dx, \quad v = \sin x $$ 由分部积分公式 $\int u\, dv = uv - \int v\, du$，得 $$ \int e^{2x} \cos x \, dx = e^{2x} \sin x - \int \sin x \cdot 2 e^{2x} \, dx $$ 即 $$ \int e^{2x} \cos x \, dx = e^{2x} \sin x - 2 \int e^{2x} \sin x \, dx \quad (1) $$
**步骤2：再对 $\int e^{2x} \sin x \, dx$ 分部积分** 令 $$ u = e^{2x}, \quad dv = \sin x \, dx $$ 则 $$ du = 2 e^{2x} dx, \quad v = -\cos x $$ 于是 $$ \int e^{2x} \sin x \, dx = - e^{2x} \cos x - \int (-\cos x) \cdot 2 e^{2x} \, dx $$ 即 $$ \int e^{2x} \sin x \, dx = - e^{2x} \cos x + 2 \int e^{2x} \cos x \, dx \quad (2) $$
**步骤3：代入回原式** 将 (2) 代入 (1)： $$ \int e^{2x} \cos x \, dx = e^{2x} \sin x - 2 \left( - e^{2x} \cos x + 2 \int e^{2x} \cos x \, dx \right) $$ 化简： $$ \int e^{2x} \cos x \, dx = e^{2x} \sin x + 2 e^{2x} \cos x - 4 \int e^{2x} \cos x \, dx $$
**步骤4：解出积分** 将含有积分的项移到左边： $$ \int e^{2x} \cos x \, dx + 4 \int e^{2x} \cos x \, dx = e^{2x} (\sin x + 2 \cos x) $$ 即 $$ 5 \int e^{2x} \cos x \, dx = e^{2x} (\sin x + 2 \cos x) $$ 所以 $$ \int e^{2x} \cos x \, dx = \frac{e^{2x}}{5} (\sin x + 2 \cos x) + C $$
**最终结果**： $$ \boxed{\displaystyle \int e^{2x} \cos x \, dx = \frac{e^{2x}}{5} (\sin x + 2\cos x) + C} $$
难度：★★☆☆☆