📝 题目
8． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\left(x^{2}+9\right)^{2}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求解不定积分： $$ \int \frac{dx}{(x^2+9)^2}. $$
**步骤1：观察分母形式** 分母是 $(x^2+9)^2$，这提示我们可以使用三角代换。令 $$ x = 3\tan t, \quad dx = 3\sec^2 t \, dt, $$ 且 $$ x^2 + 9 = 9\tan^2 t + 9 = 9\sec^2 t. $$ 因此 $$ (x^2+9)^2 = 81\sec^4 t. $$
**步骤2：代入化简** 积分变为： $$ \int \frac{3\sec^2 t}{81\sec^4 t} \, dt = \frac{1}{27} \int \frac{dt}{\sec^2 t} = \frac{1}{27} \int \cos^2 t \, dt. $$
**步骤3：计算三角函数积分** 利用倍角公式 $\cos^2 t = \frac{1+\cos 2t}{2}$，得： $$ \frac{1}{27} \int \frac{1+\cos 2t}{2} \, dt = \frac{1}{54} \left( t + \frac{1}{2}\sin 2t \right) + C. $$ 又因为 $\sin 2t = 2\sin t \cos t$，所以： $$ \frac{1}{54} \left( t + \sin t \cos t \right) + C. $$
**步骤4：回代变量** 由 $x = 3\tan t$，得 $\tan t = \frac{x}{3}$，于是： $$ \sin t = \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}, \quad \cos t = \frac{3}{\sqrt{x^2+9}}, \quad t = \arctan\frac{x}{3}. $$ 代入得： $$ \int \frac{dx}{(x^2+9)^2} = \frac{1}{54} \left( \arctan\frac{x}{3} + \frac{x}{\sqrt{x^2+9}} \cdot \frac{3}{\sqrt{x^2+9}} \right) + C. $$ 即： $$ = \frac{1}{54} \left( \arctan\frac{x}{3} + \frac{3x}{x^2+9} \right) + C. $$
**最终结果**： $$ \boxed{\displaystyle \frac{1}{54} \left( \arctan\frac{x}{3} + \frac{3x}{x^2+9} \right) + C}. $$
难度：★★☆☆☆ （属于中等偏易的三角代换积分，步骤清晰，计算量不大，但需注意倍角公式和回代细节。）