📝 题目
9． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sin ^{3} x}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解不定积分 $$ \int \frac{dx}{\sin^3 x}. $$
**步骤1：化为余割函数形式** 由于 $\frac{1}{\sin^3 x} = \csc^3 x$，因此原积分等价于 $$ \int \csc^3 x \, dx. $$
**步骤2：使用分部积分公式** 令 $$ u = \csc x, \quad dv = \csc^2 x \, dx. $$ 则 $$ du = -\csc x \cot x \, dx, \quad v = -\cot x. $$ 分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ 给出 $$ \int \csc^3 x \, dx = -\csc x \cot x - \int (-\cot x)(-\csc x \cot x) \, dx = -\csc x \cot x - \int \csc x \cot^2 x \, dx. $$
**步骤3：利用恒等式替换** 因为 $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$，所以 $$ \int \csc x \cot^2 x \, dx = \int \csc x (\csc^2 x - 1) \, dx = \int \csc^3 x \, dx - \int \csc x \, dx. $$ 代入上一步结果： $$ \int \csc^3 x \, dx = -\csc x \cot x - \left( \int \csc^3 x \, dx - \int \csc x \, dx \right). $$
**步骤4：解出积分** 将右边的 $\int \csc^3 x \, dx$ 移到左边： $$ \int \csc^3 x \, dx + \int \csc^3 x \, dx = -\csc x \cot x + \int \csc x \, dx, $$ 即 $$ 2 \int \csc^3 x \, dx = -\csc x \cot x + \int \csc x \, dx. $$ 已知 $$ \int \csc x \, dx = \ln |\csc x - \cot x| + C, $$ 因此 $$ \int \csc^3 x \, dx = -\frac{1}{2} \csc x \cot x + \frac{1}{2} \ln |\csc x - \cot x| + C. $$
**步骤5：回代原变量** 原积分即为 $$ \int \frac{dx}{\sin^3 x} = -\frac{1}{2} \csc x \cot x + \frac{1}{2} \ln |\csc x - \cot x| + C. $$ 也可写作 $$ \boxed{-\frac{1}{2} \frac{\cos x}{\sin^2 x} + \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 - \cos x}{\sin x} \right| + C}. $$
难度：★★★☆☆ （涉及分部积分、三角恒等式及常见积分公式，需一定技巧）