📝 题目
10．估计下列各积分的值： （1） $\displaystyle{\int}_{1}^{4}\left(x^{2}+1\right) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4} \pi}\left(1+\sin ^{2} x\right) \mathrm{d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} x \arctan x \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{2}^{0} \mathrm{e}^{x^{2}-x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们逐题估计积分值，主要运用定积分的估值性质：若在区间 $[a,b]$ 上有 $m \le f(x) \le M$，则 $$ m(b-a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b-a) $$
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### （1）$\displaystyle{\int}_{1}^{4}\left(x^{2}+1\right) \mathrm{d} x$
函数 $f(x)=x^2+1$ 在 $[1,4]$ 上单调递增，因此 最小值 $m = f(1)=1^2+1=2$， 最大值 $M = f(4)=16+1=17$， 区间长度 $b-a=4-1=3$，于是 $$ 2 \cdot 3 \le \int_1^4 (x^2+1)\,dx \le 17 \cdot 3 $$ 即 $$ 6 \le \int_1^4 (x^2+1)\,dx \le 51 $$
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### （2）$\displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4} \pi}\left(1+\sin ^{2} x\right) \mathrm{d} x$
因为 $0 \le \sin^2 x \le 1$，所以 $$ 1 \le 1+\sin^2 x \le 2 $$ 区间长度： $$ \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \pi $$ 于是 $$ 1\cdot \pi \le \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (1+\sin^2 x)\,dx \le 2 \cdot \pi $$ 即 $$ \pi \le \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (1+\sin^2 x)\,dx \le 2\pi $$
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### （3）$\displaystyle{\int}_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} x \arctan x \mathrm{~d} x$
令 $f(x)=x\arctan x$，在区间 $\left[\frac{1}{\sqrt{3}},\sqrt{3}\right]$ 上，$x>0$，且 $\arctan x$ 递增，故 $f(x)$ 递增。 最小值： $$ m = f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6\sqrt{3}} $$ 最大值： $$ M = f(\sqrt{3}) = \sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} $$ 区间长度： $$ \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3-1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} $$ 于是 $$ \frac{\pi}{6\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \le \int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} x\arctan x\,dx \le \frac{\pi\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} $$ 化简得 $$ \frac{\pi}{9} \le \int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} x\arctan x\,dx \le \frac{2\pi}{3} $$
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### （4）$\displaystyle{\int}_{2}^{0} \mathrm{e}^{x^{2}-x} \mathrm{~d} x$
注意积分上下限是反的，先化为正常顺序： $$ \int_2^0 e^{x^2-x}\,dx = -\int_0^2 e^{x^2-x}\,dx $$ 令 $g(x)=x^2-x = \left(x-\frac12\right)^2 - \frac14$，在 $[0,2]$ 上， 最小值在 $x=\frac12$ 处：$g_{\min}=-\frac14$， 最大值在端点：$g(0)=0,\; g(2)=2$，故最大值为 $2$。 因此 $$ e^{-1/4} \le e^{x^2-x} \le e^{2} $$ 区间长度 $2-0=2$，于是 $$ 2e^{-1/4} \le \int_0^2 e^{x^2-x}\,dx \le 2e^{2} $$ 所以原积分为其相反数： $$ -2e^{2} \le \int_2^0 e^{x^2-x}\,dx \le -2e^{-1/4} $$
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**难度评级**：★☆☆☆☆