📝 题目
11．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x \geqslant\left[\displaystyle{\int}_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right]^{2}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们已知函数 $ f(x) $ 在区间 $[0,1]$ 上连续，要证明： $$ \int_{0}^{1} f^{2}(x) \, \mathrm{d}x \geqslant \left( \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x \right)^{2}. $$
**证明步骤：**
1. 考虑辅助函数或利用柯西-施瓦茨不等式（Cauchy–Schwarz inequality）在积分形式下的结论： 对于区间 $[0,1]$ 上的连续函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $，有 $$ \left( \int_{0}^{1} f(x) g(x) \, \mathrm{d}x \right)^{2} \leq \left( \int_{0}^{1} f^{2}(x) \, \mathrm{d}x \right) \left( \int_{0}^{1} g^{2}(x) \, \mathrm{d}x \right). $$
2. 取 $ g(x) = 1 $（常数函数），则 $$ \int_{0}^{1} g^{2}(x) \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} 1 \, \mathrm{d}x = 1. $$
3. 代入柯西-施瓦茨不等式： $$ \left( \int_{0}^{1} f(x) \cdot 1 \, \mathrm{d}x \right)^{2} \leq \left( \int_{0}^{1} f^{2}(x) \, \mathrm{d}x \right) \cdot 1. $$
4. 即 $$ \left( \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x \right)^{2} \leq \int_{0}^{1} f^{2}(x) \, \mathrm{d}x. $$
5. 移项即得所需不等式： $$ \int_{0}^{1} f^{2}(x) \, \mathrm{d}x \geqslant \left( \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x \right)^{2}. $$
等号成立当且仅当 $ f(x) $ 为常数函数（由柯西-施瓦茨等号条件可得）。
因此原命题得证。
难度：★★☆☆☆