📝 题目
12．设 $f(x)$ 及 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，证明： （1）若在 $[a, b]$ 上，$f(x) \geqslant 0$ ，且 $f(x) \not \equiv 0$ ，则 $\displaystyle{\int}_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\gt 0$ ； （2）若在 $[a, b]$ 上，$f(x) \geqslant 0$ ，且 $\displaystyle{\int}_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则在 $[a, b]$ 上 $f(x) \equiv 0$ ； （3）若在 $[a, b]$ 上，$f(x) \leqslant g(x)$ ，且 $\displaystyle{\int}_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle{\int}_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ，则在 $[a, b]$ 上 $f(x) \equiv g(x)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 已知 $f(x)\geq 0$ 且 $f(x)\not\equiv 0$，则存在一点 $x_0\in[a,b]$ 使得 $f(x_0)>0$。由连续性，存在 $\delta>0$，使得当 $|x-x_0|<\delta$ 且 $x\in[a,b]$ 时，有 $$ f(x) > \frac{f(x_0)}{2} > 0. $$ 设该区间为 $[c,d]\subset[a,b]$，则 $$ \int_a^b f(x)\,dx \ge \int_c^d f(x)\,dx \ge \frac{f(x_0)}{2}(d-c) > 0. $$ 因此 $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx>0}$。
**（2）** 用反证法。假设存在 $x_0\in[a,b]$ 使得 $f(x_0)>0$，由（1）的推理可得 $$ \int_a^b f(x)\,dx > 0, $$ 与已知 $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=0}$ 矛盾。故在 $[a,b]$ 上必有 $f(x)\equiv 0$。
**（3）** 令 $h(x)=g(x)-f(x)$，由条件知在 $[a,b]$ 上 $h(x)\geq 0$，且 $$ \int_a^b h(x)\,dx = \int_a^b g(x)\,dx - \int_a^b f(x)\,dx = 0. $$ 由（2）的结论，得 $h(x)\equiv 0$，即 $f(x)\equiv g(x)$ 在 $[a,b]$ 上成立。
难度：★★☆☆☆