第5章 · 第5-1-13题

[AI解答]

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本题利用定积分的性质：若在区间 $[a,b]$ 上恒有 $f(x) \ge g(x)$，且不恒等，则 $\int_a^b f(x) \,dx > \int_a^b g(x) \,dx$。我们逐对比较被积函数的大小。

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**(1)** 比较 $\displaystyle{\int_{0}^{1} x^{2} \,dx}$ 与 $\displaystyle{\int_{0}^{1} x^{3} \,dx}$。

在区间 $[0,1]$ 上，由于 $0 \le x \le 1$，有 $x^2 \ge x^3$，且等号仅在 $x=0,1$ 处成立，因此 $$ \int_{0}^{1} x^{2} \,dx \;>\; \int_{0}^{1} x^{3} \,dx. $$ 所以 $\displaystyle{\int_{0}^{1} x^{2} \,dx}$ 的值较大。

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**(2)** 比较 $\displaystyle{\int_{1}^{2} x^{2} \,dx}$ 与 $\displaystyle{\int_{1}^{2} x^{3} \,dx}$。

在区间 $[1,2]$ 上，$x \ge 1$，故 $x^3 \ge x^2$，且等号仅在 $x=1$ 处成立，因此 $$ \int_{1}^{2} x^{3} \,dx \;>\; \int_{1}^{2} x^{2} \,dx. $$ 所以 $\displaystyle{\int_{1}^{2} x^{3} \,dx}$ 的值较大。

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**(3)** 比较 $\displaystyle{\int_{1}^{2} \ln x \,dx}$ 与 $\displaystyle{\int_{1}^{2} (\ln x)^{2} \,dx}$。

在区间 $[1,2]$ 上，$\ln x \ge 0$，且当 $x>1$ 时 $0 < \ln x < 1$，因此 $(\ln x)^2 \le \ln x$，等号仅在 $x=1$ 或 $\ln x=0$ 或 $\ln x=1$ 时成立，但 $\ln x=1$ 对应 $x=e$，不在区间端点，故在 $(1,2]$ 上严格有 $(\ln x)^2 < \ln x$，因此 $$ \int_{1}^{2} \ln x \,dx \;>\; \int_{1}^{2} (\ln x)^{2} \,dx. $$ 所以 $\displaystyle{\int_{1}^{2} \ln x \,dx}$ 的值较大。

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**(4)** 比较 $\displaystyle{\int_{0}^{1} x \,dx}$ 与 $\displaystyle{\int_{0}^{1} \ln(1+x) \,dx}$。

考虑函数 $f(x)=x - \ln(1+x)$，在 $[0,1]$ 上，$f(0)=0$，且 $$ f'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x} \ge 0, $$ 所以 $f(x) \ge 0$，且当 $x>0$ 时 $f(x)>0$，因此 $$ x > \ln(1+x) \quad (0\; \int_{0}^{1} \ln(1+x) \,dx. $$ 所以 $\displaystyle{\int_{0}^{1} x \,dx}$ 的值较大。

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**(5)** 比较 $\displaystyle{\int_{0}^{1} e^{x} \,dx}$ 与 $\displaystyle{\int_{0}^{1} (1+x) \,dx}$。

考虑函数 $g(x)=e^{x}-(1+x)$，在 $[0,1]$ 上，$g(0)=0$，且 $$ g'(x)=e^{x}-1 \ge 0, $$ 所以 $g(x) \ge 0$，且当 $x>0$ 时 $g(x)>0$，因此 $$ e^{x} > 1+x \quad (0\; \int_{0}^{1} (1+x) \,dx. $$ 所以 $\displaystyle{\int_{0}^{1} e^{x} \,dx}$ 的值较大。

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**难度评级**：★☆☆☆☆