📝 题目
8．设 $\displaystyle{\int}_{-1}^{1} 3 f(x) \mathrm{d} x=18, \displaystyle{\int}_{-1}^{3} f(x) \mathrm{d} x=4, \displaystyle{\int}_{-1}^{3} g(x) \mathrm{d} x=3$ ．求： （1） $\displaystyle{\int}_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{3}^{-1} g(x) \mathrm{d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{-1}^{3} \frac{1}{5}[4 f(x)+3 g(x)] \mathrm{d} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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已知条件： $$ \int_{-1}^{1} 3 f(x) \, dx = 18,\quad \int_{-1}^{3} f(x) \, dx = 4,\quad \int_{-1}^{3} g(x) \, dx = 3. $$
（1）求 $\displaystyle{\int_{-1}^{1} f(x) \, dx}$ 由第一个条件： $$ \int_{-1}^{1} 3 f(x) \, dx = 3 \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 18 $$ 因此 $$ \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \frac{18}{3} = 6. $$
（2）求 $\displaystyle{\int_{1}^{3} f(x) \, dx}$ 由积分区间可加性： $$ \int_{-1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx $$ 代入已知： $$ 4 = 6 + \int_{1}^{3} f(x) \, dx $$ 所以 $$ \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 4 - 6 = -2. $$
（3）求 $\displaystyle{\int_{3}^{-1} g(x) \, dx}$ 由积分上下限互换性质： $$ \int_{3}^{-1} g(x) \, dx = -\int_{-1}^{3} g(x) \, dx = -3. $$
（4）求 $\displaystyle{\int_{-1}^{3} \frac{1}{5}[4 f(x) + 3 g(x)] \, dx}$ 利用线性性质： $$ \int_{-1}^{3} \frac{1}{5}[4 f(x) + 3 g(x)] \, dx = \frac{1}{5} \left[ 4 \int_{-1}^{3} f(x) \, dx + 3 \int_{-1}^{3} g(x) \, dx \right] $$ 代入已知： $$ = \frac{1}{5} \left[ 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3 \right] = \frac{1}{5} (16 + 9) = \frac{25}{5} = 5. $$
最终答案： （1）$6$ （2）$-2$ （3）$-3$ （4）$5$
难度：★☆☆☆☆