第5章 · 第5-1-*2题

[AI解答]

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**（1）** 计算 $\displaystyle{\int}_{a}^{b} x \mathrm{~d} x \quad (a

**步骤1：分割区间** 将区间 $[a, b]$ 等分为 $n$ 个小区间，每个小区间长度为 $$ \Delta x = \frac{b-a}{n} $$ 分点为 $$ x_i = a + i\Delta x,\quad i=0,1,2,\dots,n $$

**步骤2：取右端点作积分和** 取每个小区间的右端点 $x_i = a + i\Delta x$，作黎曼和 $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{n} (a + i\Delta x) \Delta x $$ 代入 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$，得 $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} \left( a + i\cdot\frac{b-a}{n} \right) \cdot \frac{b-a}{n} = \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} a + \frac{(b-a)^2}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i $$

**步骤3：求和** $$ \sum_{i=1}^{n} a = n a,\quad \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} $$ 所以 $$ S_n = \frac{b-a}{n} \cdot n a + \frac{(b-a)^2}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2} \cdot \frac{n+1}{n} $$

**步骤4：取极限** $$ \int_a^b x \, dx = \lim_{n\to\infty} S_n = a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2} \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} $$ 由于 $\displaystyle{\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = 1}$，得 $$ \int_a^b x \, dx = a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2} = \frac{2a(b-a) + (b-a)^2}{2} = \frac{(b-a)(2a + b-a)}{2} = \frac{(b-a)(a+b)}{2} $$ 即 $$ \boxed{\displaystyle{\int_{a}^{b} x \, dx = \frac{b^2 - a^2}{2}}} $$

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**（2）** 计算 $\displaystyle{\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}$

**步骤1：分割区间** 将 $[0,1]$ 等分为 $n$ 个小区间， $$ \Delta x = \frac{1}{n},\quad x_i = \frac{i}{n},\ i=0,1,\dots,n $$

**步骤2：取右端点作积分和** 取右端点 $x_i = \frac{i}{n}$，则 $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} \mathrm{e}^{i/n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathrm{e}^{i/n} $$ 这是一个等比数列求和：首项 $\mathrm{e}^{1/n}$，公比 $\mathrm{e}^{1/n}$，项数 $n$， $$ \sum_{i=1}^{n} \mathrm{e}^{i/n} = \frac{\mathrm{e}^{1/n} \left(1 - \mathrm{e}^{n/n}\right)}{1 - \mathrm{e}^{1/n}} = \frac{\mathrm{e}^{1/n} (1 - \mathrm{e})}{1 - \mathrm{e}^{1/n}} $$ 所以 $$ S_n = \frac{1}{n} \cdot \frac{\mathrm{e}^{1/n} (1 - \mathrm{e})}{1 - \mathrm{e}^{1/n}} $$

**步骤3：取极限** $$ \int_0^1 \mathrm{e}^x \, dx = \lim_{n\to\infty} S_n = (1-\mathrm{e}) \lim_{n\to\infty} \frac{\mathrm{e}^{1/n}}{n(1 - \mathrm{e}^{1/n})} $$ 令 $t = \frac{1}{n}$，则当 $n\to\infty$ 时 $t\to 0$， $$ \lim_{n\to\infty} \frac{\mathrm{e}^{1/n}}{n(1 - \mathrm{e}^{1/n})} = \lim_{t\to 0} \frac{t\,\mathrm{e}^{t}}{1 - \mathrm{e}^{t}} $$ 利用等价无穷小：当 $t\to 0$ 时，$1 - \mathrm{e}^{t} \sim -t$，所以 $$ \lim_{t\to 0} \frac{t\,\mathrm{e}^{t}}{1 - \mathrm{e}^{t}} = \lim_{t\to 0} \frac{t\,\mathrm{e}^{t}}{-t} = -1 $$ 因此 $$ \int_0^1 \mathrm{e}^x \, dx = (1-\mathrm{e}) \cdot (-1) = \mathrm{e} - 1 $$ 即 $$ \boxed{\displaystyle{\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \, dx = \mathrm{e} - 1}} $$

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**难度评级**：★★☆☆☆ （涉及定积分定义、等比数列求和与极限运算，思路直接但需注意极限处理细节）