📝 题目
1．试求函数 $y=\displaystyle{\int}_{0}^{x} \sin t \mathrm{~d} t$ 当 $x=0$ 及 $x=\frac{\pi}{4}$ 时的导数．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 首先，由微积分基本定理，若 $$ y = \int_{0}^{x} \sin t \, \mathrm{d}t, $$ 则 $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \sin x. $$
1. 当 $x = 0$ 时， $$ \left. \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{x=0} = \sin 0 = 0. $$
2. 当 $x = \frac{\pi}{4}$ 时， $$ \left. \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{x=\frac{\pi}{4}} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}. $$
因此，所求导数值分别为 $0$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。
难度：★☆☆☆☆