📝 题目
10．设 $k \in \mathbf{N}_{+}$．试证下列各题： （1） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \cos k x \mathrm{~d} x=0$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \sin k x \mathrm{~d} x=0$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \cos ^{2} k x \mathrm{~d} x=\pi$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \sin ^{2} k x \mathrm{~d} x=\pi$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 证明： $$ \displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi} \cos kx \, \mathrm{d}x} = \left. \frac{\sin kx}{k} \right|_{-\pi}^{\pi} = \frac{\sin(k\pi) - \sin(-k\pi)}{k} = \frac{0 - 0}{k} = 0. $$ 故原式成立。
**（2）** 证明： $$ \displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi} \sin kx \, \mathrm{d}x} = \left. -\frac{\cos kx}{k} \right|_{-\pi}^{\pi} = -\frac{\cos(k\pi) - \cos(-k\pi)}{k} = -\frac{(-1)^k - (-1)^k}{k} = 0. $$ 故原式成立。
**（3）** 证明： 利用三角恒等式 $\cos^2 kx = \frac{1+\cos 2kx}{2}$， $$ \displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 kx \, \mathrm{d}x} = \frac12 \int_{-\pi}^{\pi} (1 + \cos 2kx) \, \mathrm{d}x = \frac12 \left( \int_{-\pi}^{\pi} 1 \, \mathrm{d}x + \int_{-\pi}^{\pi} \cos 2kx \, \mathrm{d}x \right). $$ 由（1）知 $\displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi} \cos 2kx \, \mathrm{d}x} = 0$，而 $\displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi} 1 \, \mathrm{d}x} = 2\pi$， 所以原式 $= \frac12 \cdot 2\pi = \pi$。
**（4）** 证明： 利用 $\sin^2 kx = \frac{1 - \cos 2kx}{2}$， $$ \displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 kx \, \mathrm{d}x} = \frac12 \int_{-\pi}^{\pi} (1 - \cos 2kx) \, \mathrm{d}x = \frac12 \left( \int_{-\pi}^{\pi} 1 \, \mathrm{d}x - \int_{-\pi}^{\pi} \cos 2kx \, \mathrm{d}x \right). $$ 同样，由（1）知第二项为零，第一项为 $2\pi$，所以原式 $= \frac12 \cdot 2\pi = \pi$。
难度：★☆☆☆☆