📝 题目
11．设 $k, l \in \mathbf{N}_{+}$，且 $k \neq l$ ．证明： （1） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \cos k x \sin l x \mathrm{~d} x=0$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \cos k x \cos l x \mathrm{~d} x=0$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \sin k x \sin l x \mathrm{~d} x=0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们证明三个正交性积分，其中 $k,l\in\mathbb{N}_+$ 且 $k\neq l$。
**(1)** 证明 $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \cos kx \sin lx \, \mathrm{d}x = 0$。
利用积化和差公式： $$ \cos kx \sin lx = \frac{1}{2} \big[ \sin((l+k)x) + \sin((l-k)x) \big]. $$ 于是 $$ \int_{-\pi}^{\pi} \cos kx \sin lx \, \mathrm{d}x = \frac12 \int_{-\pi}^{\pi} \sin((l+k)x) \, \mathrm{d}x + \frac12 \int_{-\pi}^{\pi} \sin((l-k)x) \, \mathrm{d}x. $$ 由于 $l+k \neq 0$ 且 $l-k \neq 0$（因为 $k\neq l$ 且均为正整数），正弦函数在对称区间上的积分为零： $$ \int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \, \mathrm{d}x = 0,\quad m\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}. $$ 因此原积分为零。
**(2)** 证明 $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \cos kx \cos lx \, \mathrm{d}x = 0$。
利用积化和差公式： $$ \cos kx \cos lx = \frac12 \big[ \cos((k+l)x) + \cos((k-l)x) \big]. $$ 于是 $$ \int_{-\pi}^{\pi} \cos kx \cos lx \, \mathrm{d}x = \frac12 \int_{-\pi}^{\pi} \cos((k+l)x) \, \mathrm{d}x + \frac12 \int_{-\pi}^{\pi} \cos((k-l)x) \, \mathrm{d}x. $$ 由于 $k+l \neq 0$，且 $k-l \neq 0$，余弦函数在对称区间上的积分为零： $$ \int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx) \, \mathrm{d}x = 0,\quad m\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}. $$ 因此原积分为零。
**(3)** 证明 $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \sin kx \sin lx \, \mathrm{d}x = 0$。
利用积化和差公式： $$ \sin kx \sin lx = \frac12 \big[ \cos((k-l)x) - \cos((k+l)x) \big]. $$ 于是 $$ \int_{-\pi}^{\pi} \sin kx \sin lx \, \mathrm{d}x = \frac12 \int_{-\pi}^{\pi} \cos((k-l)x) \, \mathrm{d}x - \frac12 \int_{-\pi}^{\pi} \cos((k+l)x) \, \mathrm{d}x. $$ 由于 $k-l \neq 0$ 且 $k+l \neq 0$，每个余弦积分均为零，故原积分为零。
综上，三个积分均成立。
难度：★☆☆☆☆