📝 题目
13．设
$$ f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x \in[0,1), \\ x, & x \in[1,2] .\end{cases} $$
求 $\Phi(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $[0,2]$ 上的表达式，并讨论 $\Phi(x)$ 在 $(0,2)$ 内的连续性．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
首先，根据 $ f(x) $ 的分段定义，我们需要分段计算积分 $$ \Phi(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t $$ 在区间 $[0,2]$ 上的表达式。
**第一步：当 $ x \in [0,1) $ 时** 此时 $ t \in [0,x] \subseteq [0,1) $，所以 $ f(t) = t^{2} $。 因此 $$ \Phi(x) = \int_{0}^{x} t^{2} \, \mathrm{d}t = \left[ \frac{t^{3}}{3} \right]_{0}^{x} = \frac{x^{3}}{3}. $$
**第二步：当 $ x \in [1,2] $ 时** 此时积分区间要分成两段：从 0 到 1 用 $ t^{2} $，从 1 到 $ x $ 用 $ t $。 所以 $$ \Phi(x) = \int_{0}^{1} t^{2} \, \mathrm{d}t + \int_{1}^{x} t \, \mathrm{d}t. $$ 先计算第一部分： $$ \int_{0}^{1} t^{2} \, \mathrm{d}t = \left[ \frac{t^{3}}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}. $$ 第二部分： $$ \int_{1}^{x} t \, \mathrm{d}t = \left[ \frac{t^{2}}{2} \right]_{1}^{x} = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}. $$ 因此 $$ \Phi(x) = \frac{1}{3} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{6}. $$
综上，$\Phi(x)$ 在 $[0,2]$ 上的表达式为： $$ \Phi(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{3}}{3}, & 0 \le x < 1,\$$1em] \displaystyle \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{6}, & 1 \le x \le 2. \end{cases} $$
**第三步：讨论连续性** 在 $(0,2)$ 内，除了可能的分段点 $x=1$ 之外，$\Phi(x)$ 在两个开区间 $(0,1)$ 和 $(1,2)$ 上都是初等函数，显然连续。 现在检查 $x=1$ 处的连续性：
左极限： $$ \lim_{x \to 1^{-}} \Phi(x) = \frac{1^{3}}{3} = \frac{1}{3}. $$ 右极限： $$ \lim_{x \to 1^{+}} \Phi(x) = \frac{1^{2}}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}. $$ 且 $\Phi(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$，左右极限相等且等于函数值，因此 $\Phi(x)$ 在 $x=1$ 处也连续。
所以 $\Phi(x)$ 在 $(0,2)$ 内处处连续。
难度：★☆☆☆☆