📝 题目
15．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导且 $f^{\prime}(x) \leqslant 0$ ，
$$ F(x)=\frac{1}{x-a} \displaystyle{\int}_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t $$
证明在 $(a, b)$ 内有 $F^{\prime}(x) \leqslant 0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**： 已知 $$ F(x)=\frac{1}{x-a}\int_{a}^{x} f(t)\,dt,\quad x\in(a,b). $$ 由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，由微积分基本定理，$F(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导。对 $F(x)$ 求导：
$$ F'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( \frac{1}{x-a}\int_{a}^{x} f(t)\,dt \right). $$
使用商法则： 设 $u(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,dt$，$v(x)=x-a$，则 $$ F'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}. $$ 其中 $u'(x)=f(x)$，$v'(x)=1$，因此 $$ F'(x)=\frac{f(x)(x-a)-\displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,dt}{(x-a)^2}. $$
要证明 $F'(x)\le 0$，只需证分子 $$ N(x)=f(x)(x-a)-\int_{a}^{x} f(t)\,dt \le 0. $$
由积分中值定理，存在 $\xi\in(a,x)$ 使得 $$ \int_{a}^{x} f(t)\,dt = f(\xi)(x-a). $$ 于是 $$ N(x)=f(x)(x-a)-f(\xi)(x-a)=(x-a)\bigl(f(x)-f(\xi)\bigr). $$ 因为 $x-a>0$，所以 $N(x)$ 的符号由 $f(x)-f(\xi)$ 决定。
已知 $f'(x)\le 0$，故 $f$ 在 $[a,b]$ 上单调不增。又 $\xi < x$，因此 $$ f(x)\le f(\xi) \quad\Rightarrow\quad f(x)-f(\xi)\le 0. $$ 从而 $N(x)\le 0$，分母 $(x-a)^2>0$，所以 $$ F'(x)\le 0,\quad \forall x\in(a,b). $$
证毕。
难度：★★☆☆☆