📝 题目
16．以下积分上限的函数：
$$ S(x)=\displaystyle{\int}_{0}^{x} \sin \frac{\pi t^{2}}{2} \mathrm{~d} t, \quad x \in(-\infty,+\infty) $$
称为菲涅耳（Fresnel）积分，在光学中有重要应用． （1）证明：$S(x)$ 为奇函数； （2）求出 $S(x)$ 的极小值点．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] （1）证明 $S(x)$ 为奇函数。 由定义 $$ S(x)=\displaystyle{\int}_{0}^{x} \sin \frac{\pi t^{2}}{2} \, \mathrm{d}t, $$ 考虑 $$ S(-x)=\displaystyle{\int}_{0}^{-x} \sin \frac{\pi t^{2}}{2} \, \mathrm{d}t. $$ 作变量代换 $u=-t$，则 $t=-u$，$\mathrm{d}t=-\mathrm{d}u$，且当 $t=0$ 时 $u=0$，当 $t=-x$ 时 $u=x$，于是 $$ S(-x)=\displaystyle{\int}_{0}^{x} \sin \frac{\pi (-u)^{2}}{2} \, (-\mathrm{d}u) = -\displaystyle{\int}_{0}^{x} \sin \frac{\pi u^{2}}{2} \, \mathrm{d}u = -S(x). $$ 因此 $S(-x)=-S(x)$，即 $S(x)$ 为奇函数。
（2）求 $S(x)$ 的极小值点。 由微积分基本定理， $$ S'(x)=\sin \frac{\pi x^{2}}{2}. $$ 令 $S'(x)=0$，得 $$ \sin \frac{\pi x^{2}}{2}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{\pi x^{2}}{2}=k\pi,\; k\in\mathbb{Z}. $$ 即 $$ x^{2}=2k,\quad k=0,1,2,\dots $$ （因为 $x^{2}\ge 0$，所以 $k$ 取非负整数）。 于是驻点为 $x=0$ 及 $x=\pm\sqrt{2k},\;k=1,2,\dots$
再求二阶导数： $$ S''(x)=\cos\frac{\pi x^{2}}{2}\cdot \pi x. $$ - 当 $x=0$ 时，$S''(0)=0$，需进一步判断。 考察 $S'(x)$ 在 $x=0$ 附近符号：当 $x>0$ 且很小时，$\frac{\pi x^{2}}{2}>0$ 很小，$\sin$ 为正，故 $S'(x)>0$；当 $x<0$ 且很小时，$x^{2}$ 同样很小，$\sin$ 仍为正，但 $x$ 为负，由奇函数性质 $S'(x)$ 也为正？实际上直接看：$S'(x)=\sin(\pi x^{2}/2)$ 是偶函数，在 $x=0$ 附近恒正，因此 $x=0$ 不是极值点（函数单调增）。
- 对于 $x=\sqrt{2k}$（$k\ge 1$），此时 $\frac{\pi x^{2}}{2}=k\pi$， $$ \cos(k\pi)=(-1)^{k},\quad x>0, $$ 所以 $$ S''(\sqrt{2k})=(-1)^{k}\cdot \pi\sqrt{2k}. $$ 当 $k$ 为奇数时，$S''<0$，为极大值点；当 $k$ 为偶数时，$S''>0$，为极小值点。
- 对于 $x=-\sqrt{2k}$（$k\ge 1$），由奇函数对称性，极值类型与正侧相反： 因为 $S''(-x)=-S''(x)$（可由二阶导数表达式验证），所以当 $k$ 为偶数时，$S''(-\sqrt{2k})<0$，为极大值点；当 $k$ 为奇数时，$S''(-\sqrt{2k})>0$，为极小值点。
因此极小值点为： $$ x=\sqrt{4m},\; m=1,2,3,\dots \quad\text{以及}\quad x=-\sqrt{4m-2},\; m=1,2,3,\dots $$ 即 $$ x=\pm\sqrt{2k},\quad k=2,6,10,\dots\;(\text{即 }k\equiv 2\pmod{4})\text{ 的正根},\quad k=1,5,9,\dots\;(\text{即 }k\equiv 1\pmod{4})\text{ 的负根}. $$
难度评级：★★★☆☆ （涉及变上限积分求导、奇偶性证明、三角函数方程及二阶导数判别极值，有一定综合性，但计算不复杂。）