📝 题目
17．设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 内连续，且 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ．证明函数
$$ y=\mathrm{e}^{-x} \displaystyle{\int}_{0}^{x} \mathrm{e}^{t} f(t) \mathrm{d} t $$
满足方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+y=f(x)$ ，并求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**第一步：证明满足微分方程**
已知 $$ y = e^{-x} \int_{0}^{x} e^{t} f(t) \, dt $$ 对 $y$ 关于 $x$ 求导，使用乘积法则与含参积分求导法则：
$$ \frac{dy}{dx} = -e^{-x} \int_{0}^{x} e^{t} f(t) \, dt + e^{-x} \cdot e^{x} f(x) $$ 即 $$ \frac{dy}{dx} = -y + f(x) $$ 因此 $$ \frac{dy}{dx} + y = f(x) $$ 得证。
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**第二步：求极限 $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}} y(x)$**
由表达式 $$ y(x) = e^{-x} \int_{0}^{x} e^{t} f(t) \, dt $$ 已知 $\displaystyle{\lim_{t \to +\infty}} f(t) = 1$，考虑极限 $$ \lim_{x \to +\infty} y(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\displaystyle\int_{0}^{x} e^{t} f(t) \, dt}{e^{x}} $$ 此为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，应用洛必达法则：
$$ \lim_{x \to +\infty} y(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{x} f(x)}{e^{x}} = \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 $$
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**最终答案** 微分方程成立，且 $$ \boxed{1} $$
难度：★★☆☆☆