📝 题目
2．求由参数表达式 $x=\displaystyle{\int}_{0}^{t} \sin u \mathrm{~d} u, y=\displaystyle{\int}_{0}^{t} \cos u \mathrm{~d} u$ 所确定的函数对 $x$ 的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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首先，由参数方程的定义，我们有： $$ x = \int_{0}^{t} \sin u \, \mathrm{d}u, \quad y = \int_{0}^{t} \cos u \, \mathrm{d}u. $$
计算这两个积分： $$ x = \left[ -\cos u \right]_{0}^{t} = -\cos t + \cos 0 = 1 - \cos t, $$ $$ y = \left[ \sin u \right]_{0}^{t} = \sin t - \sin 0 = \sin t. $$
因此参数方程化为： $$ x = 1 - \cos t, \quad y = \sin t. $$
对参数 $t$ 求导： $$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \sin t, \quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \cos t. $$
由参数方程求导公式： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} = \frac{\cos t}{\sin t} = \cot t, $$ 其中 $\sin t \neq 0$，即 $t \neq k\pi$（$k$ 为整数）。
因此所求导数为： $$ \boxed{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cot t}. $$
难度：★☆☆☆☆