📝 题目
3．求由 $\displaystyle{\int}_{0}^{y} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t+\displaystyle{\int}_{0}^{x} \cos t \mathrm{~d} t=0$ 所确定的隐函数对 $x$ 的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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由已知方程： $$ \int_{0}^{y} e^{t} \, dt + \int_{0}^{x} \cos t \, dt = 0 $$
首先计算两个定积分： $$ \int_{0}^{y} e^{t} \, dt = e^{y} - 1 $$ $$ \int_{0}^{x} \cos t \, dt = \sin x $$
因此原方程化为： $$ e^{y} - 1 + \sin x = 0 $$ 即 $$ e^{y} = 1 - \sin x $$
两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数： $$ e^{y} \cdot \frac{dy}{dx} = -\cos x $$
于是解得： $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{\cos x}{e^{y}} $$
又由 $e^{y} = 1 - \sin x$，代入得： $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{\cos x}{1 - \sin x} $$
因此隐函数的导数为： $$ \boxed{\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos x}{1 - \sin x}} $$
难度：★☆☆☆☆