📝 题目
4．当 $x$ 为何值时，函数 $I(x)=\displaystyle{\int}_{0}^{x} t \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ 有极值？
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求函数 $$ I(x)=\int_{0}^{x} t e^{-t^{2}}\, dt $$ 的极值点。首先，由微积分基本定理， $$ I'(x)=x e^{-x^{2}}. $$ 令导数为零： $$ x e^{-x^{2}}=0. $$ 由于 $e^{-x^{2}}>0$ 对所有实数 $x$ 成立，因此 $$ x=0. $$ 再考察二阶导数判断极值类型。 $$ I''(x)= \frac{d}{dx}\left(x e^{-x^{2}}\right)= e^{-x^{2}} + x\cdot e^{-x^{2}}(-2x)= e^{-x^{2}}(1-2x^{2}). $$ 代入 $x=0$ 得 $$ I''(0)=1>0, $$ 所以 $x=0$ 是极小值点。
因此，当 $x=0$ 时函数 $I(x)$ 取得极小值，且极小值为 $$ I(0)=\int_{0}^{0} t e^{-t^{2}}\, dt =0. $$
难度：★★☆☆☆