📝 题目
5．计算下列各导数： （1）$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int}_{0}^{x^{2}} \sqrt{1+t^{2}} \mathrm{~d} t$ ； （2）$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int}_{x^{2}}^{x^{3}} \frac{\mathrm{~d} t}{\sqrt{1+t^{4}}}$ ； （3）$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int}_{\sin x}^{\cos x} \cos \left(\pi t^{2}\right) \mathrm{d} t$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们使用微积分基本定理（Leibniz法则）来求解含参变量积分的导数。 一般公式： 若 $$ F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\, dt $$ 则 $$ F'(x)=f(b(x))\cdot b'(x)-f(a(x))\cdot a'(x) $$
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### （1） $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int}_{0}^{x^{2}} \sqrt{1+t^{2}} \,\mathrm{d} t $$ 这里 $a(x)=0$，$b(x)=x^{2}$，$f(t)=\sqrt{1+t^{2}}$。 则 $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} = f(x^{2})\cdot 2x - f(0)\cdot 0 = \sqrt{1+(x^{2})^{2}}\cdot 2x = 2x\sqrt{1+x^{4}} $$ 因此 $$ \boxed{2x\sqrt{1+x^{4}}} $$
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### （2） $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int}_{x^{2}}^{x^{3}} \frac{\mathrm{d} t}{\sqrt{1+t^{4}}} $$ 这里 $a(x)=x^{2}$，$b(x)=x^{3}$，$f(t)=\dfrac{1}{\sqrt{1+t^{4}}}$。 则 $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}=f(x^{3})\cdot 3x^{2} - f(x^{2})\cdot 2x = \frac{3x^{2}}{\sqrt{1+(x^{3})^{4}}} - \frac{2x}{\sqrt{1+(x^{2})^{4}}} $$ 化简指数： $$ (x^{3})^{4}=x^{12},\quad (x^{2})^{4}=x^{8} $$ 所以 $$ \boxed{\frac{3x^{2}}{\sqrt{1+x^{12}}} - \frac{2x}{\sqrt{1+x^{8}}}} $$
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### （3） $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int}_{\sin x}^{\cos x} \cos (\pi t^{2})\, \mathrm{d} t $$ 这里 $a(x)=\sin x$，$b(x)=\cos x$，$f(t)=\cos(\pi t^{2})$。 则 $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}=f(\cos x)\cdot (-\sin x) - f(\sin x)\cdot (\cos x) $$ 注意 $\cos x$ 的导数是 $-\sin x$，$\sin x$ 的导数是 $\cos x$。 于是 $$ = \cos(\pi \cos^{2}x)\cdot (-\sin x) - \cos(\pi \sin^{2}x)\cdot (\cos x) $$ $$ = -\sin x \cos(\pi \cos^{2}x) - \cos x \cos(\pi \sin^{2}x) $$ 因此 $$ \boxed{-\sin x \cos(\pi \cos^{2}x) - \cos x \cos(\pi \sin^{2}x)} $$
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**难度评级**：★★☆☆☆ （主要考察Leibniz公式的直接应用，计算量小，但需注意上下限的导数符号。）