📝 题目
6．证明 $f(x)=\displaystyle{\int}_{1}^{x} \sqrt{1+t^{3}} \mathrm{~d} t$ 在 $[-1,+\infty)$ 上是单调增加函数，并求 $\left(f^{-1}\right)^{\prime}(0)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] **第一步：证明单调性** 由原函数定义： $$ f(x)=\int_{1}^{x} \sqrt{1+t^{3}} \, dt $$ 其导数为 $$ f'(x)=\sqrt{1+x^{3}} $$ 在区间 $[-1,+\infty)$ 上，当 $x \ge -1$ 时，$1+x^3 \ge 1+(-1)^3 = 0$，且仅当 $x=-1$ 时等于0，其余均大于0，因此 $$ f'(x) \ge 0 $$ 且只在孤立点为零，故 $f(x)$ 在 $[-1,+\infty)$ 上严格单调增加。
**第二步：求 $\left(f^{-1}\right)'(0)$** 由反函数导数公式： $$ \left(f^{-1}\right)'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)},\quad \text{其中 } f(x_0)=y_0 $$ 这里 $y_0=0$，即解 $$ f(x_0)=\int_{1}^{x_0} \sqrt{1+t^{3}}\, dt = 0 $$ 显然当 $x_0=1$ 时，积分上下限相等，值为0，所以 $x_0=1$。 于是 $$ f'(1)=\sqrt{1+1^{3}}=\sqrt{2} $$ 因此 $$ \left(f^{-1}\right)'(0)=\frac{1}{\sqrt{2}} $$
**难度评级**：★★☆☆☆ （涉及积分定义的函数单调性判断及反函数求导，计算简单，思路直接。）