📝 题目
7．设 $f(x)=\displaystyle{\int}_{0}^{*}\left(\displaystyle{\int}_{\sin t}^{1} \sqrt{1+u^{4}} \mathrm{~d} u\right) \mathrm{d} t$ ，求 $f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知 $$ f(x)=\int_{0}^{x}\left(\int_{\sin t}^{1} \sqrt{1+u^{4}} \, \mathrm{d}u\right) \mathrm{d}t $$ 首先对 $x$ 求一阶导数。由微积分基本定理， $$ f'(x)=\int_{\sin x}^{1} \sqrt{1+u^{4}} \, \mathrm{d}u $$ 再对 $x$ 求二阶导数，此时需要用到含参变量积分的求导公式（莱布尼茨法则）： $$ f''(x)= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \int_{\sin x}^{1} \sqrt{1+u^{4}} \, \mathrm{d}u \right) = -\sqrt{1+(\sin x)^{4}} \cdot \cos x $$ 因为下限是 $\sin x$，求导时出现负号，且代入 $u=\sin x$。
于是 $$ f''\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{1+\left(\sin\frac{\pi}{3}\right)^{4}} \cdot \cos\frac{\pi}{3} $$ 已知 $$ \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \left(\sin\frac{\pi}{3}\right)^{4}=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16} $$ $$ \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} $$ 所以 $$ f''\left(\frac{\pi}{3}\right)= -\sqrt{1+\frac{9}{16}}\cdot\frac{1}{2} = -\sqrt{\frac{25}{16}}\cdot\frac{1}{2} = -\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{2} = -\frac{5}{8} $$
因此 $$ \boxed{-\dfrac{5}{8}} $$
难度：★★☆☆☆