📝 题目
1．计算下列定积分： （1） $\displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-2}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{(11+5 x)^{3}}$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \varphi \cos ^{3} \varphi \mathrm{~d} \varphi$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi}\left(1-\sin ^{3} \theta\right) \mathrm{d} \theta$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} u \mathrm{~d} u$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{\sqrt{2}} \sqrt{2-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \sqrt{8-2 y^{2}} \mathrm{~d} y$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x(a\gt 0)$ ； （10） $\displaystyle{\int}_{1}^{\sqrt{3}} \frac{\mathrm{~d} x}{x^{2} \sqrt{1+x^{2}}}$ ； （11） $\displaystyle{\int}_{-1}^{1} \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{5-4 x}}$ ； （12） $\displaystyle{\int}_{1}^{4} \frac{\mathrm{~d} x}{1+\sqrt{x}}$ ； （13） $\displaystyle{\int}_{\frac{3}{4}}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x}-1}$ ； （14） $\displaystyle{\int}_{0}^{\sqrt{2} a} \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{3 a^{2}-x^{2}}}(a\gt 0)$ ； （15） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} t \mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2}} \mathrm{~d} t$ ； （16） $\displaystyle{\int}_{1}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{\mathrm{~d} x}{x \sqrt{1+\ln x}}$ ； （17） $\displaystyle{\int}_{-2}^{0} \frac{(x+2) \mathrm{d} x}{x^{2}+2 x+2}$ ； （18） $\displaystyle{\int}_{0}^{2} \frac{x \mathrm{~d} x}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}}$ ； （19） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} x^{4} \sin x \mathrm{~d} x$ ； （20） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 4 \cos ^{4} \theta \mathrm{~d} \theta$ ； （21） $\displaystyle{\int}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{(\arcsin x)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （22） $\displaystyle{\int}_{-5}^{5} \frac{x^{3} \sin ^{2} x}{x^{4}+2 x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ； （23） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cos 2 x \mathrm{~d} x$ ； （24） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x-\cos ^{3} x} \mathrm{~d} x$ ； （25） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \sqrt{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ； （26） $\displaystyle{\int}_{0}^{2 \pi}|\sin (x+1)| d x$ ．
💡 答案与解析
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下面逐题给出计算步骤。
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### （1） $$ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) \mathrm{d}x $$ 令 $u = x + \frac{\pi}{3}$，则 $\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$，当 $x=\frac{\pi}{3}$ 时 $u=\frac{2\pi}{3}$，当 $x=\pi$ 时 $u=\frac{4\pi}{3}$， $$ = \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{4\pi}{3}} \sin u \, \mathrm{d}u = \left[-\cos u\right]_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{4\pi}{3}} = -\cos\frac{4\pi}{3} + \cos\frac{2\pi}{3} $$ $$ = -\left(-\frac12\right) + \left(-\frac12\right) = \frac12 - \frac12 = 0 $$
**答案：** $0$
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### （2） $$ \int_{-2}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{(11+5x)^3} $$ 令 $u=11+5x$，$\mathrm{d}u=5\mathrm{d}x$，当 $x=-2$ 时 $u=1$，当 $x=1$ 时 $u=16$， $$ = \frac15 \int_{1}^{16} u^{-3} \mathrm{d}u = \frac15 \left[ \frac{u^{-2}}{-2} \right]_{1}^{16} = -\frac{1}{10} \left( \frac{1}{256} - 1 \right) $$ $$ = -\frac{1}{10} \cdot \frac{-255}{256} = \frac{255}{2560} = \frac{51}{512} $$
**答案：** $\displaystyle\frac{51}{512}$
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### （3） $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi \cos^3\varphi \, \mathrm{d}\varphi $$ 令 $u=\cos\varphi$，$\mathrm{d}u = -\sin\varphi \, \mathrm{d}\varphi$，当 $\varphi=0$ 时 $u=1$，$\varphi=\frac{\pi}{2}$ 时 $u=0$， $$ = \int_{1}^{0} u^3 (-\mathrm{d}u) = \int_{0}^{1} u^3 \mathrm{d}u = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac14 $$
**答案：** $\displaystyle\frac14$
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### （4） $$ \int_{0}^{\pi} (1-\sin^3\theta) \mathrm{d}\theta = \int_{0}^{\pi} 1 \, \mathrm{d}\theta - \int_{0}^{\pi} \sin^3\theta \, \mathrm{d}\theta $$ 第一项：$\pi$。第二项：$\sin^3\theta = \sin\theta (1-\cos^2\theta)$，令 $u=\cos\theta$，$\mathrm{d}u=-\sin\theta\mathrm{d}\theta$，当 $\theta=0$ 时 $u=1$，$\theta=\pi$ 时 $u=-1$， $$ \int_{0}^{\pi} \sin^3\theta \mathrm{d}\theta = \int_{1}^{-1} (1-u^2)(-\mathrm{d}u) = \int_{-1}^{1} (1-u^2)\mathrm{d}u = \left[u-\frac{u^3}{3}\right]_{-1}^{1} $$ $$ = \left(1-\frac13\right) - \left(-1+\frac13\right) = \frac23 - \left(-\frac23\right) = \frac43 $$ 因此原积分 $= \pi - \frac43$
**答案：** $\displaystyle\pi - \frac43$
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### （5） $$ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 u \, \mathrm{d}u = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2u}{2} \mathrm{d}u $$ $$ = \frac12 \left[ u + \frac{\sin 2u}{2} \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac12 \left[ \left(\frac{\pi}{2} + 0\right) - \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\sin(\pi/3)}{2} \right) \right] $$ $$ = \frac12 \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt3/2}{2} \right) = \frac12 \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt3}{4} \right) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt3}{8} $$
**答案：** $\displaystyle\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt3}{8}$
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### （6） $$ \int_{0}^{\sqrt2} \sqrt{2-x^2} \, \mathrm{d}x $$ 几何意义：半径为 $\sqrt2$ 的圆在第一象限的 $\frac14$ 圆面积，即 $\frac14 \pi (\sqrt2)^2 = \frac{\pi}{2}$。也可用三角换元 $x=\sqrt2 \sin t$，$\mathrm{d}x=\sqrt2\cos t\,\mathrm{d}t$，当 $x=0$ 时 $t=0$，$x=\sqrt2$ 时 $t=\frac{\pi}{2}$， $$ = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2-2\sin^2 t} \cdot \sqrt2 \cos t \, \mathrm{d}t = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos^2 t \, \mathrm{d}t = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos2t)\mathrm{d}t $$ $$ = \left[ t + \frac{\sin2t}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} $$
**答案：** $\displaystyle\frac{\pi}{2}$
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### （7） $$ \int_{-\sqrt2}^{\sqrt2} \sqrt{8-2y^2} \, \mathrm{d}y = \int_{-\sqrt2}^{\sqrt2} \sqrt{2(4-y^2)} \, \mathrm{d}y = \sqrt2 \int_{-\sqrt2}^{\sqrt2} \sqrt{4-y^2} \, \mathrm{d}y $$ 几何意义：半径为2的半圆面积的一半？实际上 $\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2} \sqrt{4-y^2} \mathrm{d}y$ 是半径为2的圆中从 $y=-\sqrt2$ 到 $y=\sqrt2$ 的弓形面积，但更简单用对称性：令 $y=2\sin t$，$\mathrm{d}y=2\cos t\,\mathrm{d}t$，当 $y=-\sqrt2$ 时 $t=-\frac{\pi}{4}$，$y=\sqrt2$ 时 $t=\frac{\pi}{4}$， $$ \sqrt2 \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{4-4\sin^2 t} \cdot 2\cos t \, \mathrm{d}t = \sqrt2 \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} 4\cos^2 t \, \mathrm{d}t $$ $$ = 4\sqrt2 \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1+\cos2t}{2} \mathrm{d}t = 2\sqrt2 \left[ t + \frac{\sin2t}{2} \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} $$ $$ = 2\sqrt2 \left[ \left(\frac{\pi}{4} + \frac12\right) - \left(-\frac{\pi}{4} - \frac12\right) \right] = 2\sqrt2 \left( \frac{\pi}{2} + 1 \right) = \sqrt2 \pi + 2\sqrt2 $$
**答案：** $\displaystyle\sqrt2 \pi + 2\sqrt2$
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### （8） $$ \int_{\frac{1}{\sqrt2}}^{1} \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2} \mathrm{d}x $$ 令 $x=\sin t$，$\mathrm{d}x=\cos t\,\mathrm{d}t$，当 $x=\frac{1}{\sqrt2}$ 时 $t=\frac{\pi}{4}$，$x=1$ 时 $t=\frac{\pi}{2}$， $$ = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos t}{\sin^2 t} \cdot \cos t \, \mathrm{d}t = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2