📝 题目
2．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，证明：
$$ \displaystyle{\int}_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle{\int}_{a}^{b} f(a+b-x) \mathrm{d} x $$
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们证明该积分等式。已知 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上连续，因此可积。
考虑变量替换： 令 $$ t = a + b - x, $$ 则 $$ x = a + b - t, \quad \mathrm{d}x = -\mathrm{d}t. $$
当 $ x = a $ 时，$ t = a + b - a = b $； 当 $ x = b $ 时，$ t = a + b - b = a $。
因此原积分变为： $$ \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{t=b}^{t=a} f(a+b-t) \cdot (-\mathrm{d}t) = \int_a^b f(a+b-t) \, \mathrm{d}t. $$
由于定积分与积分变量符号无关，将 $ t $ 改写为 $ x $，即得： $$ \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = \int_a^b f(a+b-x) \, \mathrm{d}x. $$
证毕。
难度：★☆☆☆☆