📝 题目
4．证明： $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} \mathrm{~d} x=\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{n}(1-x)^{m} \mathrm{~d} x \quad(m, n \in \mathbf{N})$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们证明对于任意自然数 $m, n$，有 $$ \int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} \, dx = \int_{0}^{1} x^{n}(1-x)^{m} \, dx. $$
**证明步骤**： 考虑左端积分 $$ I = \int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} \, dx. $$ 作变量代换：令 $t = 1 - x$，则当 $x = 0$ 时 $t = 1$，当 $x = 1$ 时 $t = 0$，且 $dx = -dt$。于是 $$ I = \int_{1}^{0} (1-t)^{m} \, t^{n} \, (-dt) = \int_{0}^{1} t^{n} (1-t)^{m} \, dt. $$ 将积分变量 $t$ 改记为 $x$，即得 $$ I = \int_{0}^{1} x^{n}(1-x)^{m} \, dx. $$ 因此等式成立。证毕。
难度：★☆☆☆☆