📝 题目
5．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，$n \in \mathbf{Z}$ ，证明：
$$ \displaystyle{\int}_{\frac{n}{2} \pi}^{\frac{n+1}{2} \pi} f(|\sin x|) \mathrm{d} x=\displaystyle{\int}_{\frac{n}{2} \pi}^{\frac{n+1}{2} \pi} f(|\cos x|) \mathrm{d} x=\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x $$
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们证明题目中的三个积分相等。已知 $ f $ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $ n \in \mathbf{Z} $。
首先，考虑第一个积分： $$ I_1 = \displaystyle{\int}_{\frac{n}{2}\pi}^{\frac{n+1}{2}\pi} f(|\sin x|) \, \mathrm{d}x $$ 作变量代换 $ t = x - \frac{n}{2}\pi $，则 $ x = t + \frac{n}{2}\pi $，且当 $ x $ 从 $ \frac{n}{2}\pi $ 到 $ \frac{n+1}{2}\pi $ 时，$ t $ 从 $ 0 $ 到 $ \frac{\pi}{2} $。于是： $$ I_1 = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f\left( \left| \sin\left( t + \frac{n}{2}\pi \right) \right| \right) \, \mathrm{d}t $$
利用三角函数的周期性及对称性： $$ \sin\left( t + \frac{n}{2}\pi \right) = \begin{cases} \sin t, & n \equiv 0 \pmod{4} \\ \cos t, & n \equiv 1 \pmod{4} \\ -\sin t, & n \equiv 2 \pmod{4} \\ -\cos t, & n \equiv 3 \pmod{4} \end{cases} $$ 取绝对值后，有： $$ \left| \sin\left( t + \frac{n}{2}\pi \right) \right| = \begin{cases} \sin t, & n \text{ 为偶数} \\ \cos t, & n \text{ 为奇数} \end{cases} $$ 因此： $$ I_1 = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin t) \, \mathrm{d}t \quad \text{或} \quad \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos t) \, \mathrm{d}t $$ 但注意，在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上，$\sin t$ 与 $\cos t$ 的值域均为 $[0,1]$，且由变量代换 $ u = \frac{\pi}{2} - t $ 可得： $$ \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos t) \, \mathrm{d}t = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin u) \, \mathrm{d}u $$ 所以无论 $ n $ 的奇偶性，都有： $$ I_1 = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \, \mathrm{d}x $$
再考虑第二个积分： $$ I_2 = \displaystyle{\int}_{\frac{n}{2}\pi}^{\frac{n+1}{2}\pi} f(|\cos x|) \, \mathrm{d}x $$ 同样作代换 $ t = x - \frac{n}{2}\pi $，得： $$ I_2 = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f\left( \left| \cos\left( t + \frac{n}{2}\pi \right) \right| \right) \, \mathrm{d}t $$ 利用： $$ \cos\left( t + \frac{n}{2}\pi \right) = \begin{cases} \cos t, & n \equiv 0 \pmod{4} \\ -\sin t, & n \equiv 1 \pmod{4} \\ -\cos t, & n \equiv 2 \pmod{4} \\ \sin t, & n \equiv 3 \pmod{4} \end{cases} $$ 取绝对值后： $$ \left| \cos\left( t + \frac{n}{2}\pi \right) \right| = \begin{cases} \cos t, & n \text{ 为偶数} \\ \sin t, & n \text{ 为奇数} \end{cases} $$ 因此： $$ I_2 = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos t) \, \mathrm{d}t \quad \text{或} \quad \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin t) \, \mathrm{d}t $$ 同样由对称性，两者都等于 $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \, \mathrm{d}x$。
综上，三个积分均相等，即： $$ \displaystyle{\int}_{\frac{n}{2}\pi}^{\frac{n+1}{2}\pi} f(|\sin x|) \, \mathrm{d}x = \displaystyle{\int}_{\frac{n}{2}\pi}^{\frac{n+1}{2}\pi} f(|\cos x|) \, \mathrm{d}x = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \, \mathrm{d}x $$ 证毕。
难度：★★☆☆☆