📝 题目
6．若 $f(t)$ 是连续的奇函数，证明 $\displaystyle{\int}_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是偶函数；若 $f(t)$ 是连续的偶函数，证明 $\displaystyle{\int}_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是奇函数．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们设 $$ F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t $$ 其中 $f(t)$ 连续。
**情形1：** $f(t)$ 是奇函数，即 $f(-t) = -f(t)$。 要证明 $F(x)$ 是偶函数，即 $F(-x) = F(x)$。
计算 $$ F(-x) = \int_{0}^{-x} f(t) \, \mathrm{d}t $$ 令 $t = -u$，则 $\mathrm{d}t = -\mathrm{d}u$，当 $t=0$ 时 $u=0$，当 $t=-x$ 时 $u=x$，于是 $$ F(-x) = \int_{0}^{x} f(-u) (-\mathrm{d}u) = \int_{0}^{x} (-f(u)) (-\mathrm{d}u) = \int_{0}^{x} f(u) \, \mathrm{d}u = F(x) $$ 因此 $F(x)$ 是偶函数。
**情形2：** $f(t)$ 是偶函数，即 $f(-t) = f(t)$。 要证明 $F(x)$ 是奇函数，即 $F(-x) = -F(x)$。
同样 $$ F(-x) = \int_{0}^{-x} f(t) \, \mathrm{d}t $$ 令 $t = -u$，则 $$ F(-x) = \int_{0}^{x} f(-u) (-\mathrm{d}u) = \int_{0}^{x} f(u) (-\mathrm{d}u) = -\int_{0}^{x} f(u) \, \mathrm{d}u = -F(x) $$ 因此 $F(x)$ 是奇函数。
证毕。
难度：★★☆☆☆