📝 题目
8．计算下列定积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{1}^{e} x \ln x \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{2 \pi}{\omega}} t \sin \omega t \mathrm{~d} t$（ $\omega$ 为常数）； （4） $\displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{x}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{1}^{4} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x \arctan x \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{2 x} \cos x \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} x \log _{2} x \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi}(x \sin x)^{2} \mathrm{~d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int}_{1}^{e} \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int}_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}}|\ln x| \mathrm{d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int}_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{m}{2}} \mathrm{~d} x\left(m \in \mathbf{N}_{+}\right)$； （13）$J_{m}=\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} x \sin ^{m} x \mathrm{~d} x\left(m \in \mathbf{N}_{+}\right)$．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 以下为各定积分的详细计算过程。
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### （1） $$ \int_{0}^{1} x e^{-x} \, dx $$ 使用分部积分法，令 $ u = x $，$ dv = e^{-x} dx $，则 $ du = dx $，$ v = -e^{-x} $。 $$ \int_{0}^{1} x e^{-x} dx = \left[ -x e^{-x} \right]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{-x} dx = (-1 \cdot e^{-1} - 0) + \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{1} = -e^{-1} + (-e^{-1} + 1) = 1 - \frac{2}{e} $$ 难度：★★☆☆☆
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### （2） $$ \int_{1}^{e} x \ln x \, dx $$ 令 $ u = \ln x $，$ dv = x dx $，则 $ du = \frac{1}{x} dx $，$ v = \frac{x^{2}}{2} $。 $$ = \left[ \frac{x^{2}}{2} \ln x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \left( \frac{e^{2}}{2} \cdot 1 - 0 \right) - \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x dx = \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{1}^{e} = \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^{2}}{4} + \frac{1}{4} $$ 难度：★★☆☆☆
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### （3） $$ \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}} t \sin(\omega t) \, dt $$ 令 $ u = t $，$ dv = \sin(\omega t) dt $，则 $ du = dt $，$ v = -\frac{1}{\omega} \cos(\omega t) $。 $$ = \left[ -\frac{t}{\omega} \cos(\omega t) \right]_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}} + \frac{1}{\omega} \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}} \cos(\omega t) dt = \left( -\frac{2\pi}{\omega^{2}} \cos(2\pi) - 0 \right) + \frac{1}{\omega} \cdot \left[ \frac{1}{\omega} \sin(\omega t) \right]_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}} = -\frac{2\pi}{\omega^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{\omega^{2}} (\sin 2\pi - \sin 0) = -\frac{2\pi}{\omega^{2}} $$ 难度：★★☆☆☆
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### （4） $$ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{x}{\sin^{2} x} dx $$ 注意到 $ \frac{1}{\sin^{2} x} = \csc^{2} x = (-\cot x)' $。 令 $ u = x $，$ dv = \csc^{2} x dx $，则 $ du = dx $，$ v = -\cot x $。 $$ = \left[ -x \cot x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \cot x dx = \left( -\frac{\pi}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\pi}{4} \cdot 1 \right) + \left[ \ln |\sin x| \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = -\frac{\pi}{3\sqrt{3}} + \frac{\pi}{4} + \ln\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \ln\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\frac{\pi}{3\sqrt{3}} + \frac{\pi}{4} + \ln \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $$ 难度：★★★☆☆
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### （5） $$ \int_{1}^{4} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx $$ 令 $ u = \ln x $，$ dv = x^{-1/2} dx $，则 $ du = \frac{1}{x} dx $，$ v = 2\sqrt{x} $。 $$ = \left[ 2\sqrt{x} \ln x \right]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} 2\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} dx = (2 \cdot 2 \cdot \ln 4 - 0) - 2 \int_{1}^{4} x^{-1/2} dx = 4 \ln 4 - 2 \cdot \left[ 2\sqrt{x} \right]_{1}^{4} = 4 \ln 4 - 2(4 - 2) = 4\ln 4 - 4 $$ 难度：★★☆☆☆
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### （6） $$ \int_{0}^{1} x \arctan x \, dx $$ 令 $ u = \arctan x $，$ dv = x dx $，则 $ du = \frac{1}{1+x^{2}} dx $，$ v = \frac{x^{2}}{2} $。 $$ = \left[ \frac{x^{2}}{2} \arctan x \right]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \left( 1 - \frac{1}{1+x^{2}} \right) dx = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \left( [x]_{0}^{1} - [\arctan x]_{0}^{1} \right) = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} $$ 难度：★★★☆☆
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### （7） $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{2x} \cos x \, dx $$ 两次分部积分：令 $ I = \int e^{2x} \cos x dx $。 第一次：$ u = e^{2x} $，$ dv = \cos x dx $，得 $$ I = e^{2x} \sin x - \int 2e^{2x} \sin x dx $$ 第二次：对 $ \int e^{2x} \sin x dx $，令 $ u = e^{2x} $，$ dv = \sin x dx $，得 $$ \int e^{2x} \sin x dx = -e^{2x} \cos x + \int 2e^{2x} \cos x dx = -e^{2x} \cos x + 2I $$ 代入得 $$ I = e^{2x} \sin x - 2(-e^{2x} \cos x + 2I) = e^{2x} \sin x + 2e^{2x} \cos x - 4I $$ 所以 $$ 5I = e^{2x}(\sin x + 2\cos x) \quad\Rightarrow\quad I = \frac{e^{2x}}{5}(\sin x + 2\cos x) $$ 代入上下限： $$ \left[ \frac{e^{2x}}{5}(\sin x + 2\cos x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{e^{\pi}}{5}(1 + 0) - \frac{1}{5}(0 + 2) = \frac{e^{\pi} - 2}{5} $$ 难度：★★★☆☆
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### （8） $$ \int_{1}^{2} x \log_{2} x \, dx $$ 换底：$ \log_{2} x = \frac{\ln x}{\ln 2} $。 $$ = \