📝 题目
4．利用递推公式计算反常积分 $I_{n}=\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} x^{n} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x(n \in \mathbf{N})$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们考虑反常积分 $$ I_n = \int_{0}^{+\infty} x^n e^{-x} \, dx, \quad n \in \mathbb{N}. $$
**第一步：计算递推关系** 利用分部积分法，令 $$ u = x^n, \quad dv = e^{-x} dx, $$ 则 $$ du = n x^{n-1} dx, \quad v = -e^{-x}. $$ 于是 $$ I_n = \left[ -x^n e^{-x} \right]_{0}^{+\infty} + \int_{0}^{+\infty} n x^{n-1} e^{-x} dx. $$ 对于第一项，当 $x \to +\infty$ 时，$x^n e^{-x} \to 0$；当 $x=0$ 时，$0^n e^0 = 0$（$n \ge 1$），因此该项为 0。 所以 $$ I_n = n \int_{0}^{+\infty} x^{n-1} e^{-x} dx = n I_{n-1}. $$
**第二步：计算初始值** 当 $n=0$ 时， $$ I_0 = \int_{0}^{+\infty} e^{-x} dx = \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{+\infty} = 0 - (-1) = 1. $$
**第三步：递推得到通项公式** 由递推关系 $$ I_n = n I_{n-1} = n (n-1) I_{n-2} = \cdots = n! \, I_0 = n!. $$
因此 $$ \boxed{I_n = n!} $$
**难度评级**：★☆☆☆☆ （属于基础的分部积分与递推应用，计算简单，适合初学者。）