📝 题目
2．设反常积分 $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明反常积分 $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x$ 绝对收敛．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知反常积分 $$ \int_{1}^{+\infty} f^{2}(x) \, \mathrm{d}x $$ 收敛，要证明 $$ \int_{1}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \, \mathrm{d}x $$ 绝对收敛，即证明 $$ \int_{1}^{+\infty} \left| \frac{f(x)}{x} \right| \, \mathrm{d}x < +\infty. $$
**步骤1：应用柯西–施瓦茨不等式** 对于任意有限区间 $[1, A]$，有 $$ \int_{1}^{A} \frac{|f(x)|}{x} \, \mathrm{d}x \leq \sqrt{ \int_{1}^{A} f^{2}(x) \, \mathrm{d}x \cdot \int_{1}^{A} \frac{1}{x^{2}} \, \mathrm{d}x }. $$
**步骤2：分别处理两个积分** 由已知， $$ \lim_{A \to +\infty} \int_{1}^{A} f^{2}(x) \, \mathrm{d}x = I < +\infty, $$ 因此对任意 $A$， $$ \int_{1}^{A} f^{2}(x) \, \mathrm{d}x \leq I. $$ 而 $$ \int_{1}^{A} \frac{1}{x^{2}} \, \mathrm{d}x = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{A} = 1 - \frac{1}{A} \leq 1. $$
**步骤3：得到上界** 于是 $$ \int_{1}^{A} \frac{|f(x)|}{x} \, \mathrm{d}x \leq \sqrt{I \cdot 1} = \sqrt{I}. $$ 由于这个上界与 $A$ 无关，且被积函数非负，因此当 $A \to +\infty$ 时，积分单调递增且有上界，故极限存在且有限，即 $$ \int_{1}^{+\infty} \frac{|f(x)|}{x} \, \mathrm{d}x < +\infty. $$
因此原积分绝对收敛。证毕。
难度评级：★★☆☆☆ （主要用到柯西–施瓦茨不等式与比较判别法，思路直接，计算简单。）