📝 题目
3．用 $\Gamma$ 函数表示下列积分，并指出这些积分的收敛范围： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{n}} \mathrm{~d} x(n\gt 0)$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{1}\left(\ln \frac{1}{x}\right)^{p} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} x^{m} \mathrm{e}^{-x^{n}} \mathrm{~d} x(n \neq 0)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**（1）** $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{n}} \mathrm{~d} x \quad (n>0)$
令 $t = x^n$，则 $x = t^{1/n}$，$\mathrm{d}x = \frac{1}{n} t^{\frac{1}{n}-1} \mathrm{d}t$，且当 $x:0\to+\infty$ 时 $t:0\to+\infty$。
于是 $$ \int_{0}^{+\infty} e^{-x^n} \mathrm{d}x = \int_{0}^{+\infty} e^{-t} \cdot \frac{1}{n} t^{\frac{1}{n}-1} \mathrm{d}t = \frac{1}{n} \int_{0}^{+\infty} t^{\frac{1}{n}-1} e^{-t} \mathrm{d}t = \frac{1}{n} \Gamma\!\left(\frac{1}{n}\right). $$
收敛范围：由 $\Gamma$ 函数的定义，要求 $\frac{1}{n} > 0$，即 $n>0$，与题设一致，故收敛域为 $n>0$。
**（2）** $\displaystyle{\int}_{0}^{1}\left(\ln \frac{1}{x}\right)^{p} \mathrm{~d} x$
令 $t = \ln\frac{1}{x} = -\ln x$，则 $x = e^{-t}$，$\mathrm{d}x = -e^{-t}\mathrm{d}t$，当 $x:0\to 1$ 时 $t:+\infty \to 0$，所以 $$ \int_{0}^{1} \left(\ln\frac{1}{x}\right)^p \mathrm{d}x = \int_{+\infty}^{0} t^p (-e^{-t})\mathrm{d}t = \int_{0}^{+\infty} t^p e^{-t} \mathrm{d}t = \Gamma(p+1). $$
收敛范围：要求 $p+1 > 0$，即 $p > -1$。
**（3）** $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} x^{m} \mathrm{e}^{-x^{n}} \mathrm{~d} x \quad (n \neq 0)$
令 $t = x^n$，则 $x = t^{1/n}$，$\mathrm{d}x = \frac{1}{n} t^{\frac{1}{n}-1} \mathrm{d}t$，且 $x^{m} = t^{m/n}$，于是 $$ \int_{0}^{+\infty} x^{m} e^{-x^{n}} \mathrm{d}x = \int_{0}^{+\infty} t^{m/n} e^{-t} \cdot \frac{1}{n} t^{\frac{1}{n}-1} \mathrm{d}t = \frac{1}{n} \int_{0}^{+\infty} t^{\frac{m+1}{n} - 1} e^{-t} \mathrm{d}t = \frac{1}{n} \Gamma\!\left(\frac{m+1}{n}\right). $$
收敛范围：要求 $\frac{m+1}{n} > 0$。 - 若 $n>0$，则要求 $m+1 > 0$，即 $m > -1$； - 若 $n<0$，则要求 $m+1 < 0$，即 $m < -1$。
**难度评级：** ★★☆☆☆