📝 题目
4．证明 $\Gamma\left(\frac{2 k+1}{2}\right)=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot(2 k-1) \sqrt{\pi}}{2^{k}}$ ，其中 $k \in \mathbf{N}_{+}$．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**： 我们已知Gamma函数的定义为 $$ \Gamma(z) = \int_{0}^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} \, dt, \quad \Re(z) > 0. $$ 要证明 $$ \Gamma\left(\frac{2k+1}{2}\right) = \frac{(2k-1)!! \, \sqrt{\pi}}{2^{k}}, $$ 其中 $(2k-1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1)$。
**第一步：递推公式** Gamma函数满足递推关系 $$ \Gamma(z+1) = z \, \Gamma(z). $$ 令 $z = \frac{2k-1}{2}$，则有 $$ \Gamma\left(\frac{2k+1}{2}\right) = \frac{2k-1}{2} \, \Gamma\left(\frac{2k-1}{2}\right). $$
**第二步：反复递推** 反复应用上述递推，得到 $$ \Gamma\left(\frac{2k+1}{2}\right) = \frac{2k-1}{2} \cdot \frac{2k-3}{2} \cdots \frac{1}{2} \, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right). $$ 这里共 $k$ 个因子相乘，即 $$ \Gamma\left(\frac{2k+1}{2}\right) = \frac{(2k-1)(2k-3)\cdots 1}{2^{k}} \, \Gamma\left(\frac12\right). $$
**第三步：已知特殊值** 已知 $$ \Gamma\left(\frac12\right) = \sqrt{\pi}. $$ 代入即得 $$ \Gamma\left(\frac{2k+1}{2}\right) = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1)}{2^{k}} \, \sqrt{\pi}. $$
因此原等式成立。证毕。
难度：★★☆☆☆