📝 题目
10．求位于曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 下方、该曲线过原点的切线的左方以及 $x$ 轴上方之间的图形的面积．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**步骤1：求过原点的切线方程** 曲线为 $ y = e^x $，其导数为 $ y' = e^x $。设切点为 $(x_0, e^{x_0})$，则切线斜率为 $ e^{x_0} $。 切线过原点，因此切线方程为 $$ y = e^{x_0} x $$ 又因为切点在曲线上，也在切线上，所以 $$ e^{x_0} = e^{x_0} x_0 $$ 由于 $ e^{x_0} \neq 0 $，两边除以 $ e^{x_0} $ 得 $$ 1 = x_0 $$ 于是切点为 $(1, e)$，切线方程为 $$ y = e x $$
**步骤2：确定图形区域** 曲线 $ y = e^x $ 下方、切线左方、x轴上方。 切线左方即 $ x \leq 1 $ 的区域（因为切线过原点且切点在 $ x=1 $ 处）。 曲线与x轴交点在 $ x \to -\infty $ 时趋近0，但实际在有限区间内，曲线与x轴无交点（$ e^x > 0 $）。 因此区域由 $ x $ 从某值到1，且上方边界为曲线与切线中较低者。 由于在 $ x < 1 $ 时，切线 $ y = e x $ 与曲线 $ y = e^x $ 比较： 当 $ x=0 $ 时，切线值为0，曲线值为1，曲线在上； 当 $ x=1 $ 时，两者相等； 因此当 $ x < 1 $ 时，曲线在上，切线在下。 但题目要求“曲线下方”，即区域在曲线之下，所以下边界是切线，上边界是曲线？注意：需仔细理解。 “位于曲线 $ y=e^x $ 下方”指区域在曲线之下，即区域的上边界是曲线； “该曲线过原点的切线的左方”指区域在切线左侧，即区域右边界是切线（直线 $ x=1 $ ？不，切线左方指区域在切线的左边，即区域中点的横坐标小于切线上对应点的横坐标？更准确：切线是一条直线，其左方指所有满足 $ y < e x $ 的点？但通常“切线左方”指在切线的左侧，即x较小的方向，但切线是斜线，所以“左方”应理解为：在切线的左边，即满足 $ y < e x $ 的区域？ 结合图形，过原点的切线将平面分为两部分，左下方和右上方。曲线在 $ x<1 $ 时位于切线上方，所以曲线与切线之间的区域在切线左方且曲线下方。 所以区域描述为：由 $ x $ 轴、切线 $ y=ex $、曲线 $ y=e^x $ 围成，且 $ x $ 从某值到1。 与x轴的交点：切线交x轴于原点，曲线交x轴？无有限交点，但区域下方以x轴为界，所以左边界是曲线与x轴的交点？实际上，当 $ x \to -\infty $，曲线趋近0，但x轴上方区域需从某处开始。 更合理的理解：区域由三条边界围成： - 上边界：曲线 $ y = e^x $ - 下边界：x轴（$ y=0 $）和切线 $ y=ex $ 的组合 - 右边界：切线本身（作为垂直方向的界限？） 实际上，切线左方指区域在切线的左侧，即满足 $ y \leq e x $ 的区域（因为切线是斜线，左侧是y较小的那一边）。 曲线下方指 $ y \leq e^x $。 x轴上方指 $ y \geq 0 $。 因此区域为： $$ 0 \leq y \leq \min(e^x, e x), \quad \text{且 } y \leq e x \text{（切线左方）} $$ 由于在 $ x<1 $ 时，$ e^x > e x $，所以 $\min(e^x, e x) = e x$，但曲线下方要求 $ y \leq e^x $，而切线左方要求 $ y \leq e x $，两者同时成立时取较小者即 $ y \leq e x $。 但这样区域就变成在切线下方，而不是曲线下方？矛盾。 重新解读：“位于曲线下方”指区域在曲线之下，即上边界是曲线；“切线左方”指区域在切线左边，即区域中所有点满足 $ x \leq $ 切线上对应y的x坐标？更常见的是：切线左方指在切线的左侧，即对于固定的y，x小于切线上该y对应的x。 切线方程 $ y = e x $ 可写为 $ x = y/e $。切线左方即 $ x \leq y/e $。 曲线下方即 $ y \leq e^x $。 x轴上方即 $ y \geq 0 $。 所以区域为： $$ 0 \leq y \leq e^x, \quad x \leq \frac{y}{e} $$ 结合两条件，从 $ x \leq y/e $ 得 $ y \geq e x $，所以区域是满足 $ e x \leq y \leq e^x $ 且 $ y \geq 0 $ 的部分。 因此区域介于切线（下边界）与曲线（上边界）之间，且x从某值到1（因为当x>1时，$ e^x > e x $ 但此时切线左方条件 $ x \leq y/e $ 不再成立？实际上当x>1时，对于给定的x，切线左方要求 $ x \leq y/e $，即 $ y \geq e x $，而曲线 $ y=e^x $ 在x>1时大于 $ e x $，所以区域仍存在？但注意：切线左方是全局条件，不是只限制x。 我们取交点：曲线与切线交于 $ x=1, y=e $。对于x<1，曲线在上，切线在下；对于x>1，切线在上，曲线在下。但切线左方条件 $ x \leq y/e $ 等价于 $ y \geq e x $，即点在切线上方。所以区域实际是切线上方、曲线下方，且x轴上方。 因此区域在x<1时，切线在下，曲线在上，满足条件；在x>1时，切线在上，曲线在下，此时切线上方条件要求y大于切线，但曲线小于切线，所以无重叠区域。所以只有x≤1部分有效。 另外，x轴上方自动满足。 左边界：当x很小时，曲线趋近1，切线为负（x<0时ex<0），但y≥0，所以下边界实际是x轴？注意：当x<0时，切线值为负，而y≥0，所以下边界变为x轴（y=0），而不是切线。因此区域分为两部分： - 当 $ x \leq 0 $ 时，切线在x轴下方，所以下边界是x轴，上边界是曲线 $ e^x $； - 当 $ 0 \leq x \leq 1 $ 时，下边界是切线 $ y=ex $，上边界是曲线 $ e^x $。
**步骤3：计算面积** 面积 $$ A = \int_{-\infty}^{0} e^x \, dx + \int_{0}^{1} (e^x - e x) \, dx $$ 第一项： $$ \int_{-\infty}^{0} e^x \, dx = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{0} e^x \, dx = \lim_{a \to -\infty} [e^x]_{a}^{0} = 1 - 0 = 1 $$ 第二项： $$ \int_{0}^{1} e^x \, dx = [e^x]_{0}^{1} = e - 1 $$ $$ \int_{0}^{1} e x \, dx = e \cdot \frac{1}{2} x^2 \Big|_{0}^{1} = \frac{e}{2} $$ 所以第二项为 $$ (e - 1) - \frac{e}{2} = \frac{e}{2} - 1 $$ 总面积 $$ A = 1 + \left( \frac{e}{2} - 1 \right) = \frac{e}{2} $$
**步骤4：结论** 所求图形面积为 $\displaystyle \frac{e}{2}$。
难度：★★☆☆☆