📝 题目
12．已知抛物线 $y=p x^{2}+q x$（其中 $p\lt 0, q\gt 0$ ）在第一象限内与直线 $x+y=5$ 相切，且此拋物线与 $x$轴所围成的图形的面积为 $A$ ．问 $p$ 和 $q$ 为何值时，$A$ 达到最大值，并求出此最大值．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知抛物线为 $$ y = p x^{2} + q x, \quad p<0,\; q>0. $$ 它与直线 $x+y=5$ 相切，即直线方程可写为 $$ y = 5 - x. $$ 设切点为 $(x_0, y_0)$，则在该点处函数值相等且导数相等。
**第一步：由相切条件建立关系**
函数值相等： $$ p x_0^{2} + q x_0 = 5 - x_0. \tag{1} $$ 导数相等：抛物线导数为 $y' = 2p x + q$，直线斜率为 $-1$，所以 $$ 2p x_0 + q = -1. \tag{2} $$ 由(2)得 $$ q = -1 - 2p x_0. \tag{3} $$ 代入(1)： $$ p x_0^{2} + (-1 - 2p x_0)x_0 = 5 - x_0. $$ 左边化简： $$ p x_0^{2} - x_0 - 2p x_0^{2} = -p x_0^{2} - x_0. $$ 于是方程变为 $$ -p x_0^{2} - x_0 = 5 - x_0, $$ 即 $$ -p x_0^{2} = 5 \quad\Rightarrow\quad x_0^{2} = -\frac{5}{p}. $$ 由于 $p<0$，右边为正，合理。于是 $$ x_0 = \sqrt{-\frac{5}{p}} \quad (\text{第一象限，取正}). $$ 再由(3)得 $$ q = -1 - 2p \sqrt{-\frac{5}{p}}. $$ 注意 $p<0$，可令 $p = -a,\; a>0$，则 $$ x_0 = \sqrt{\frac{5}{a}},\quad q = -1 + 2a \sqrt{\frac{5}{a}} = -1 + 2\sqrt{5a}. $$ 由于 $q>0$，要求 $$ 2\sqrt{5a} > 1 \quad\Rightarrow\quad a > \frac{1}{20}. $$
**第二步：求抛物线与x轴围成的面积**
抛物线与x轴交点： $$ p x^{2} + q x = x(p x + q) = 0, $$ 得 $x=0$ 和 $x = -\dfrac{q}{p}$。由于 $p<0$，$-\dfrac{q}{p} > 0$，所以积分区间为 $[0, -\frac{q}{p}]$。
面积 $$ A = \int_{0}^{-q/p} (p x^{2} + q x) \, dx. $$ 计算： $$ \int (p x^{2} + q x) dx = \frac{p}{3} x^{3} + \frac{q}{2} x^{2}. $$ 代入上下限： $$ A = \frac{p}{3}\left(-\frac{q}{p}\right)^{3} + \frac{q}{2}\left(-\frac{q}{p}\right)^{2} = \frac{p}{3}\left(-\frac{q^{3}}{p^{3}}\right) + \frac{q}{2}\left(\frac{q^{2}}{p^{2}}\right). $$ 化简： $$ A = -\frac{q^{3}}{3p^{2}} + \frac{q^{3}}{2p^{2}} = \frac{q^{3}}{6p^{2}}. $$ 因为 $p<0$，$p^{2}>0$，且 $q>0$，所以 $A>0$，合理。
**第三步：用参数 $a$ 表示并求极值**
令 $p = -a$，则 $$ q = -1 + 2\sqrt{5a}. $$ 于是 $$ A = \frac{q^{3}}{6 a^{2}} = \frac{(-1 + 2\sqrt{5a})^{3}}{6 a^{2}}. $$ 为方便，设 $t = \sqrt{a} > 0$，则 $a = t^{2}$， $$ q = -1 + 2\sqrt{5} t, $$ $$ A = \frac{(-1 + 2\sqrt{5} t)^{3}}{6 t^{4}}. $$ 令 $u = -1 + 2\sqrt{5} t$，则 $t = \frac{u+1}{2\sqrt{5}}$，且 $u>0$（因 $q>0$）。 于是 $$ A = \frac{u^{3}}{6} \cdot \frac{1}{\left(\frac{u+1}{2\sqrt{5}}\right)^{4}} = \frac{u^{3}}{6} \cdot \frac{(2\sqrt{5})^{4}}{(u+1)^{4}} = \frac{u^{3}}{6} \cdot \frac{16 \cdot 25}{(u+1)^{4}}. $$ 因为 $(2\sqrt{5})^{4} = 16 \cdot 25 = 400$，所以 $$ A = \frac{400 u^{3}}{6 (u+1)^{4}} = \frac{200 u^{3}}{3 (u+1)^{4}}. $$
**第四步：对 $u>0$ 求最大值**
令 $$ f(u) = \frac{u^{3}}{(u+1)^{4}}. $$ 取对数求导或直接求导： $$ f'(u) = \frac{3u^{2}(u+1)^{4} - u^{3}\cdot 4(u+1)^{3}}{(u+1)^{8}} = \frac{u^{2}(u+1)^{3}[3(u+1) - 4u]}{(u+1)^{8}} = \frac{u^{2}(3 - u)}{(u+1)^{5}}. $$ 令 $f'(u)=0$，得 $u=3$（$u=0$ 舍去）。 当 $0
**第五步：回代求 $p,q$ 及最大面积**
$u=3$ 时， $$ t = \frac{3+1}{2\sqrt{5}} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}, $$ 所以 $$ a = t^{2} = \frac{4}{5},\quad p = -a = -\frac{4}{5}. $$ $$ q = u = 3. $$ 最大面积 $$ A_{\max} = \frac{200 \cdot 3^{3}}{3 \cdot (3+1)^{4}} = \frac{200 \cdot 27}{3 \cdot 256} = \frac{5400}{768} = \frac{225}{32}. $$
因此，当 $p = -\dfrac{4}{5},\; q = 3$ 时，面积最大，最大值为 $\displaystyle \frac{225}{32}$。
难度：★★★☆☆