📝 题目
13．由 $y=x^{3}, x=2, y=0$ 所围成的图形分别绕 $x$ 轴及 $y$ 轴旋转，计算所得两个旋转体的体积．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**第一步：明确区域与图形** 曲线为 $y = x^3$，直线 $x = 2$ 与 $y = 0$ 围成的区域： - 在 $x$ 从 0 到 2 的范围内，曲线下方、x 轴上方。 - 交点：$(0,0)$ 和 $(2,8)$。
**第二步：绕 $x$ 轴旋转的体积** 使用圆盘法，绕 $x$ 轴旋转时，每个横截面的半径为 $y = x^3$，体积微元为 $$ dV = \pi (x^3)^2 \, dx = \pi x^6 \, dx $$ 因此体积为 $$ V_x = \int_{0}^{2} \pi x^6 \, dx = \pi \left[ \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{2} = \pi \cdot \frac{2^7}{7} = \frac{128\pi}{7} $$
**第三步：绕 $y$ 轴旋转的体积** 此时采用“壳层法”或“反函数法”。 - 方法一（壳层法）：绕 y 轴旋转，取竖直条带，高度为 $y = x^3$，厚度 $dx$，到 y 轴距离为 $x$，则 $$ dV = 2\pi x \cdot (x^3) \, dx = 2\pi x^4 \, dx $$ 积分范围 $x \in [0,2]$： $$ V_y = \int_{0}^{2} 2\pi x^4 \, dx = 2\pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = 2\pi \cdot \frac{32}{5} = \frac{64\pi}{5} $$
- 方法二（圆盘法，对 y 积分）：反函数 $x = y^{1/3}$，y 从 0 到 8，每个水平截面半径为 $x = y^{1/3}$，则 $$ V_y = \int_{0}^{8} \pi (y^{1/3})^2 \, dy = \pi \int_{0}^{8} y^{2/3} \, dy = \pi \left[ \frac{3}{5} y^{5/3} \right]_{0}^{8} = \pi \cdot \frac{3}{5} \cdot 8^{5/3} $$ 由于 $8^{5/3} = (8^{1/3})^5 = 2^5 = 32$，所以 $$ V_y = \pi \cdot \frac{3}{5} \cdot 32 = \frac{96\pi}{5} $$ **注意**：这里出现差异是因为区域绕 y 轴旋转时，若用对 y 的圆盘法，必须考虑 x=2 这条竖直线也会形成圆柱空缺？实际上，原区域由 $y=x^3, x=2, y=0$ 围成，当绕 y 轴旋转时，图形并不是从 y=0 到 y=8 的完整曲线下方区域，因为 x 最大为 2，而曲线在 y 方向延伸到 8，但 x=2 这条线也会旋转成一个圆柱面，围成的区域是曲线与 x=2之间的区域绕 y 轴旋转。 正确做法： 对 y 积分时，外半径是常数 $x=2$，内半径是曲线 $x = y^{1/3}$，因此体积为 $$ V_y = \int_{0}^{8} \pi \left( 2^2 - (y^{1/3})^2 \right) dy = \pi \int_{0}^{8} (4 - y^{2/3}) \, dy = \pi \left[ 4y - \frac{3}{5} y^{5/3} \right]_{0}^{8} $$ 代入 $y=8$： $$ 4 \cdot 8 = 32,\quad \frac{3}{5} \cdot 8^{5/3} = \frac{3}{5} \cdot 32 = \frac{96}{5} $$ 所以 $$ V_y = \pi \left( 32 - \frac{96}{5} \right) = \pi \cdot \frac{160 - 96}{5} = \frac{64\pi}{5} $$ 与壳层法一致。
**第四步：最终结果** 绕 x 轴旋转体体积：$\displaystyle \frac{128\pi}{7}$ 绕 y 轴旋转体体积：$\displaystyle \frac{64\pi}{5}$
难度评级：★★☆☆☆ （基本旋转体体积计算，注意绕 y 轴时需正确选择内外半径或使用壳层法，稍有易错点。）