📝 题目
14．把星形线 $x^{2 / 3}+y^{2 / 3}=a^{2 / 3}$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转（图6－22），计算所得旋转体的体积．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**步骤1：确定积分区域与对称性** 星形线方程 $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$ 关于 $x$ 轴和 $y$ 轴对称，且 $x$ 的取值范围为 $[-a, a]$。 由于旋转体关于 $x$ 轴对称，我们只需考虑 $y \ge 0$ 的上半部分绕 $x$ 轴旋转，所得体积再乘以1（对称性已包含在积分中）。
由方程解出上半部分的 $y$： $$ y = \left( a^{2/3} - x^{2/3} \right)^{3/2}. $$
**步骤2：旋转体体积公式** 绕 $x$ 轴旋转的体积公式为： $$ V = \pi \displaystyle{\int_{x_1}^{x_2}} [y(x)]^2 \, dx. $$ 这里 $x$ 从 $-a$ 到 $a$，利用对称性可只积分 $0$ 到 $a$ 再乘以2： $$ V = 2\pi \displaystyle{\int_{0}^{a}} \left[ \left( a^{2/3} - x^{2/3} \right)^{3/2} \right]^2 dx = 2\pi \displaystyle{\int_{0}^{a}} \left( a^{2/3} - x^{2/3} \right)^{3} dx. $$
**步骤3：换元简化积分** 令 $x = a \cos^3 t$，则 $dx = -3a \cos^2 t \sin t \, dt$。 当 $x=0$ 时，$t = \frac{\pi}{2}$；当 $x=a$ 时，$t=0$。 同时： $$ a^{2/3} - x^{2/3} = a^{2/3} - a^{2/3} \cos^2 t = a^{2/3} \sin^2 t, $$ 所以 $$ \left( a^{2/3} - x^{2/3} \right)^3 = a^2 \sin^6 t. $$
代入积分： $$ V = 2\pi \displaystyle{\int_{t=\pi/2}^{0}} a^2 \sin^6 t \cdot (-3a \cos^2 t \sin t) \, dt = 6\pi a^3 \displaystyle{\int_{0}^{\pi/2}} \sin^7 t \cos^2 t \, dt. $$
**步骤4：计算三角函数积分** 利用 $\sin^7 t \cos^2 t = \sin^7 t (1 - \sin^2 t) = \sin^7 t - \sin^9 t$。 因此： $$ \displaystyle{\int_{0}^{\pi/2}} \sin^7 t \cos^2 t \, dt = \displaystyle{\int_{0}^{\pi/2}} \sin^7 t \, dt - \displaystyle{\int_{0}^{\pi/2}} \sin^9 t \, dt. $$
使用递推公式（或Wallis公式）： $$ I_n = \displaystyle{\int_{0}^{\pi/2}} \sin^n t \, dt = \frac{n-1}{n} I_{n-2}, $$ 且 $I_0 = \frac{\pi}{2}$，$I_1 = 1$。
计算： $$ I_7 = \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{48}{105} = \frac{16}{35}, $$ $$ I_9 = \frac{8}{9} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{384}{945} = \frac{128}{315}. $$
所以： $$ \displaystyle{\int_{0}^{\pi/2}} \sin^7 t \cos^2 t \, dt = \frac{16}{35} - \frac{128}{315} = \frac{144}{315} - \frac{128}{315} = \frac{16}{315}. $$
**步骤5：得到体积** $$ V = 6\pi a^3 \cdot \frac{16}{315} = \frac{96\pi a^3}{315} = \frac{32\pi a^3}{105}. $$
因此，旋转体的体积为： $$ \boxed{\displaystyle{\frac{32}{105}\pi a^{3}}} $$
难度：★★★☆☆