📝 题目
16．求下列已知曲线所围成的图形按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： （1）$y=x^{2}, x=y^{2}$ ，绕 $y$ 轴； （2）$y=\arcsin x, x=1, y=0$ ，绕 $x$ 轴； （3）$x^{2}+(y-5)^{2}=16$ ，绕 $x$ 轴； （4）摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 的一拱，$y=0$ ，绕直线 $y=2 a$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 曲线 $y=x^2$ 与 $x=y^2$ 所围图形绕 $y$ 轴旋转。
首先求交点： 由 $y=x^2$ 及 $x=y^2$，代入得 $y = (y^2)^2 = y^4$，即 $y(y^3-1)=0$，得 $y=0$ 或 $y=1$。 对应 $x$：当 $y=0$ 时 $x=0$；当 $y=1$ 时 $x=1$。 两曲线在 $y\in[0,1]$ 上，$x=y^2$ 在右侧，$x=\sqrt{y}$ 在左侧（因为 $y=x^2$ 即 $x=\sqrt{y}$）。
绕 $y$ 轴旋转，用圆盘法（对 $y$ 积分）： 外半径 $R(y)=\sqrt{y}$，内半径 $r(y)=y^2$， 体积为 $$ V = \pi \int_{0}^{1} \left[ (\sqrt{y})^2 - (y^2)^2 \right] dy = \pi \int_{0}^{1} (y - y^4) dy = \pi \left[ \frac{y^2}{2} - \frac{y^5}{5} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) = \frac{3\pi}{10}. $$
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**（2）** 曲线 $y=\arcsin x$，直线 $x=1$，$y=0$ 所围图形绕 $x$ 轴旋转。
区域：$0 \le x \le 1$，$0 \le y \le \arcsin x$。 绕 $x$ 轴旋转，用圆盘法： 半径 $R(x)=\arcsin x$， $$ V = \pi \int_{0}^{1} (\arcsin x)^2 dx. $$ 令 $t = \arcsin x$，则 $x = \sin t$，$dx = \cos t\, dt$，当 $x=0$ 时 $t=0$，$x=1$ 时 $t=\frac{\pi}{2}$， $$ V = \pi \int_{0}^{\pi/2} t^2 \cos t \, dt. $$ 分部积分： 令 $u = t^2$，$dv = \cos t\, dt$，则 $du = 2t\, dt$，$v = \sin t$， $$ \int t^2 \cos t\, dt = t^2 \sin t - \int 2t \sin t\, dt. $$ 再对 $\int t \sin t\, dt$ 分部：令 $u=t$，$dv=\sin t\, dt$，得 $du=dt$，$v=-\cos t$， $$ \int t \sin t\, dt = -t\cos t + \int \cos t\, dt = -t\cos t + \sin t. $$ 因此 $$ \int t^2 \cos t\, dt = t^2 \sin t - 2(-t\cos t + \sin t) = t^2 \sin t + 2t\cos t - 2\sin t. $$ 代入上下限： 当 $t=\frac{\pi}{2}$：$\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\cdot 1 + 2\cdot\frac{\pi}{2}\cdot 0 - 2\cdot 1 = \frac{\pi^2}{4} - 2$； 当 $t=0$：$0+0-0=0$。 所以 $$ V = \pi \left( \frac{\pi^2}{4} - 2 \right) = \frac{\pi^3}{4} - 2\pi. $$
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**（3）** 圆 $x^{2}+(y-5)^{2}=16$ 绕 $x$ 轴旋转。
圆半径 $4$，圆心 $(0,5)$。绕 $x$ 轴旋转得到的是圆环体（轮胎形）。 用圆环体体积公式：$V = 2\pi R \cdot \pi r^2$，其中 $R$ 为圆心到旋转轴距离，$r$ 为截面圆半径。 这里 $R=5$，$r=4$， $$ V = 2\pi \cdot 5 \cdot (\pi \cdot 4^2) = 2\pi \cdot 5 \cdot 16\pi = 160\pi^2. $$
也可用积分验证： 上半圆 $y = 5 + \sqrt{16 - x^2}$，下半圆 $y = 5 - \sqrt{16 - x^2}$， 绕 $x$ 轴旋转体积为 $$ V = \pi \int_{-4}^{4} \left[(5+\sqrt{16-x^2})^2 - (5-\sqrt{16-x^2})^2\right] dx = \pi \int_{-4}^{4} 20\sqrt{16-x^2}\, dx = 20\pi \cdot \frac{1}{2}\pi\cdot 4^2 = 160\pi^2. $$
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**（4）** 摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 一拱 ($0\le t\le 2\pi$)，$y=0$，绕直线 $y=2a$ 旋转。
摆线一拱在 $y=0$ 到 $y=2a$ 之间。绕水平轴 $y=2a$ 旋转，用圆环法（washer method）对 $x$ 积分。 旋转轴在 $y=2a$，任一点到轴的距离为 $|2a - y|$。 对于每个 $x$，外半径 $R = 2a - y_{\text{下}}$，内半径 $r = 2a - y_{\text{上}}$，但注意这里曲线是单值的：一拱中 $y$ 从 $0$ 到 $2a$，所以 $y_{\text{下}}=0$，$y_{\text{上}}=a(1-\cos t)$。 但更方便用参数形式： 体积元素 $dV = \pi\left[(2a - 0)^2 - (2a - y)^2\right] dx$， 即 $$ dV = \pi \left[4a^2 - (2a - y)^2\right] dx. $$ 由 $dx = a(1-\cos t) dt$，且 $y = a(1-\cos t)$， $$ V = \pi \int_{0}^{2\pi} \left[4a^2 - (2a - a(1-\cos t))^2\right] a(1-\cos t)\, dt. $$ 化简 $2a - a(1-\cos t) = a(1+\cos t)$， 所以 $$ V = \pi a \int_{0}^{2\pi} \left[4a^2 - a^2(1+\cos t)^2\right] (1-\cos t)\, dt = \pi a^3 \int_{0}^{2\pi} \left[4 - (1+2\cos t + \cos^2 t)\right] (1-\cos t)\, dt. $$ 括号内：$4 - 1 - 2\cos t - \cos^2 t = 3 - 2\cos t - \cos^2 t$。 乘上 $(1-\cos t)$： $$ (3 - 2\cos t - \cos^2 t)(1-\cos t) = 3 - 3\cos t - 2\cos t + 2\cos^2 t - \cos^2 t + \cos^3 t = 3 - 5\cos t + \cos^2 t + \cos^3 t. $$ 用 $\cos^2 t = \frac{1+\cos 2t}{2}$，$\cos^3 t = \frac{3\cos t + \cos 3t}{4}$， 则被积函数为 $$ 3 - 5\cos t + \frac{1+\cos 2t}{2} + \frac{3\cos t + \cos 3t}{4} = 3 + \frac{1}{2} + \left(-5 + \frac{3}{4}\right)\cos t + \frac{1}{2}\cos 2t + \frac{1}{4}\cos 3t = \frac{7}{2} - \frac{17}{4}\cos t + \frac{1}{2}\cos 2t + \frac{1}{4}\cos 3t. $$ 在 $[0,2\pi]$ 上，$\cos kt$ 的积分为零，所以 $$ V