📝 题目
17．求圆盘 $x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ 绕 $x=-b(b\gt a\gt 0)$ 旋转所成旋转体的体积．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求圆盘 $x^2 + y^2 \le a^2$ 绕直线 $x = -b$（其中 $b > a > 0$）旋转一周所得旋转体的体积。
**第一步：理解几何关系** 圆盘中心在原点，半径为 $a$。旋转轴是垂直于 $x$ 轴的直线 $x = -b$，位于圆盘左侧，且与圆盘不相交（因为 $b > a$）。因此旋转体是一个“环形”立体，类似于轮胎形状（环面的一部分或整个环面）。
**第二步：选择积分方法** 由于旋转轴平行于 $y$ 轴，我们考虑用“柱壳法”或“圆盘法”沿 $x$ 方向积分。这里用**圆盘法**（washer method）更方便：将旋转体视为由垂直于旋转轴（即平行于 $y$ 轴）的许多薄圆环叠加而成。 旋转轴是 $x = -b$，所以对于固定的 $x$，圆盘上该竖直线段绕轴旋转形成一个圆环，其外半径和内半径取决于该点到旋转轴的距离。
**第三步：确定半径表达式** 对于圆盘内一点 $(x, y)$，它到旋转轴 $x = -b$ 的距离是 $$ R = |x - (-b)| = x + b $$ 因为 $x \ge -a > -b$，所以 $x + b > 0$，绝对值可去掉。 在固定 $x$ 处，圆盘的 $y$ 范围是 $$ -\sqrt{a^2 - x^2} \le y \le \sqrt{a^2 - x^2} $$ 旋转时，该竖直线段扫出一个圆环： - 外半径：离轴最远的点对应 $x$ 不变，但旋转半径是 $x+b$，所以外半径就是 $x+b$（因为整个线段旋转，最外侧就是距离本身）。实际上，对于固定 $x$，线段上每一点到轴的距离都是 $x+b$，因此旋转得到的是一个厚度为 $2\sqrt{a^2 - x^2}$ 的圆柱壳？这里要注意： 更准确地说，用**圆盘法**时，我们垂直于旋转轴切片。旋转轴是竖直线，因此垂直于轴的切片是水平圆盘。但这里我们换一种思路：用**柱壳法**更直接。
**第四步：改用柱壳法（shell method）** 柱壳法：绕竖直线旋转时，对 $x$ 积分，每个竖条绕轴旋转得到一个柱壳。 对于 $x$ 处宽度为 $dx$ 的竖条，高度为 $2\sqrt{a^2 - x^2}$，该竖条到旋转轴的距离为 $x + b$，因此旋转体积微元为 $$ dV = 2\pi (\text{半径}) (\text{高度}) \, dx = 2\pi (x + b) \cdot 2\sqrt{a^2 - x^2} \, dx $$ 即 $$ dV = 4\pi (x + b) \sqrt{a^2 - x^2} \, dx $$
**第五步：积分求体积** $x$ 从 $-a$ 到 $a$： $$ V = \int_{-a}^{a} 4\pi (x + b) \sqrt{a^2 - x^2} \, dx $$ 拆成两项： $$ V = 4\pi \int_{-a}^{a} x \sqrt{a^2 - x^2} \, dx + 4\pi b \int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx $$
第一项：被积函数 $x\sqrt{a^2 - x^2}$ 是奇函数，对称区间积分为零。 第二项：$\int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$ 是半径为 $a$ 的半圆面积的两倍，即整个圆面积 $\pi a^2$，所以 $$ \int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{\pi a^2}{2} \times 2? $$ 准确：$\int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$ 表示上半圆面积的2倍，即半径为 $a$ 的圆面积 $\pi a^2$。 因此 $$ V = 4\pi b \cdot (\pi a^2) = 4\pi^2 a^2 b $$
**第六步：结论** 旋转体的体积为 $$ \boxed{4\pi^{2} a^{2} b} $$
难度评级：★★★☆☆ （需要理解旋转体体积的柱壳法，并处理对称性简化计算，但计算本身不复杂。）